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Legge di Hopkinson

Cosa afferma la legge di Hopkinson?

Un circuito elettrico è un insieme di materiali elettrici opportunamente connessi tra di loro allo scopo di generare una corrente elettrica i dovuta alla presenza di un generatore di forza elettromotrice.

Un circuito magnetico è una regione prevalentemente formata da un nucleo di materiale ferromagnetico con lo scopo di generare al suo interno, tramite una serie di avvolgimenti, un campo magnetico e quindi misurare un flusso magnetico Φ generato da una forza magnetomotrice.

Risolvere un circuito elettrico vuol dire determinare tensioni e correnti in ogni ramo del circuito dovute alla presenza dei generatori di tensione e di corrente; analogamente risolvere un circuito magnetico vuol dire determinare i flussi magnetici e le intensità dei campi magnetici in ogni parte del circuito causate dalla presenza di correnti che circolano nelle bobine che sono avvolte a materiali ferromagnetici.

Circuito magnetico

Determinazione della legge di Hopkinson

Consideriamo un avvolgimento costituito da N spire percorse da correnti i ed avvolte su di un nucleo ferromagnetico di lunghezza media L. Sappiamo che l’avvolgimento induce un campo magnetico all’interno del nucleo di intensità pari a:

Campo magnetico all’interno del nucleo

in cui μ è la permeabilità magnetica data dal prodotto della permeabilità magnetica nel vuoto per la permeabilità magnetica relativa dell’elemento ferromagnetico di cui è costituito il nucleo.

Vogliamo calcolare il flusso di questo campo magnetico attraverso la superficie S del nucleo ferromagnetico. Il flusso del campo magnetico attraverso una superficie è dato dal prodotto scalare del vettore superficie per il vettore campo magnetico, cioè dal prodotto dell’intensità del campo magnetico per la superficie presa in considerazione per il coseno dell’angolo tra campo magnetico e normale alla superficie. In caso di campo perpendicolare alla superficie (e quindi parallelo alla normale) avremo:

Flusso di questo campo magnetico attraverso la superficie S del nucleo ferromagnetico

Sostituiamo a B la sua espressione:

Il prodotto tra il numero di spire N e l’intensità di corrente elettrica i che circola nell’avvolgimento rappresenta la forza magnetomotrice FMM, misurata in Amperespira (Asp), che analogamente alla forza elettromotrice per i circuiti elettrici, rappresenta la causa della presenza del flusso del campo magnetico in un circuito magnetico. Per cui:

FMM = N ∙ i

Dunque il flusso può essere riscritto come:

Ora in questa formula che esprime il flusso in relazione alla forza magnetomotrice compaiono μ, S e L che dipendono unicamente da quale materiale è presente nel nucleo ferromagnetico e dalle dimensioni geometriche (sezione e lunghezza dell’avvolgimento). Dunque queste grandezze non dipendono dalla cause esterne che stanno generando il flusso bensì dalla geometria del problema che stiamo considerando.

Si definisce Riluttanza in un circuito magnetico il rapporto tra la lunghezza del solenoide e il prodotto della permeabilità magnetica per la sezione:

Formula della riluttanza

L’unità di misura della riluttanza è l’henry alla -1 [H-1] e rappresenta la capacità di un materiale al passaggio di un flusso magnetico (così come la resistenza in ambito elettrico rappresenta la capacità di un materiale di opporsi al passaggio della corrente elettrica).

Il flusso può essere riscritto allora in termini della riluttanza come:

Cioè:

FMM = Φ∙ ℜ

Questa è la legge di Hopkinson che afferma che la forza magnetomotrice in un circuito magnetico è pari al prodotto del flusso magnetico per la riluttanza.

Ricordiamo che l’unità di misura del flusso del campo magnetico è il weber [Wb].

Analogie tra la legge di ohm e la legge di Hopkinson

La prima legge di Ohm e quella di Hopkinson sono molto simili:

V =  R ∙ i

e

FMM = Φ∙ ℜ

La tensione o forza elettromotrice fem che in un circuito elettrico provoca una corrente è analoga alla forza magnetomotrice che in un circuito magnetico provoca un campo magnetico; la corrente i è analoga al flusso magnetico e così anche la riluttanza è analoga al comportamento della resistenza.

Grazie a questa analogia si possono risolvere i circuiti magnetici considerandoli come circuiti elettrici e applicando le stesse leggi che si utilizzano per la risoluzione di quei tipi di circuiti.

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