Ponte di Wheatstone
Che cos'è il ponte di Wheatstone?
Il ponte di Wheatstone è una configurazione circuitale molto utilizzata in elettronica ed in ingegneria nell'ambito biomedicale.
Esso è costituito da 4 resistenze elettriche poste tra di loro in un circuito a forma di rombo e collegati ad un generatore di tensione continua:
Lo scopo di un ponte di Wheatstone è quello di determinare il valore incognito di una delle quattro resistenze indicata in figura con Rx. Tra i punti a e b dello schema in figura si pone un voltmetro per misurare la differenza di potenziale tra i punti a e b Vab:
La condizione di equilibrio del ponte di Wheatstone
La condizione di equilibrio del ponte di Wheatstone si verifica quando la tensione Vab è nulla.
Segniamo tensioni e correnti in ogni ramo e scegliamo come positivo il verso di percorrenza della maglia orario:
Applichiamo la legge di Kirchhoff delle maglie alla maglia ABD e scriviamo l'equazione sulle tensioni:
V2 - Vab - Vx = 0
Vab = V2 - Vx
E poiché Vab deve essere nulla:
Vab = V2 - Vx = 0
da cui:
V2 = Vx
Inoltre la corrente nel ramo in cui è presente il voltmetro è nulla (come da ipotesi iniziale) e quindi al corrente si ripartisce solo nei rami CAD e CBD.
Questi due rami contengono ciascuno due resistenze in serie R1 e R2 uno e R3 con Rx l'altro ed essi sono disposti in parallelo per cui la tensione nei due rami è la medesima ed è pari a quella fornita dal generatore di tensione pari a V. Le correnti i1 e i2 sono le stesse così come quelle i3 e ix.
Il nostro obiettivo ora è quella di ricavare le tensioni ai capi della resistenza 2 e di quella x. Le resistenze equivalenti in ogni ramo sono date dalla somma delle resistenze:
Req,CAD = R1 + R2
Req,CBD = R3 + Rx
Per cui la corrente che scorre in ogni ramo se la tensione ai capi di ciascuna resistenza equivalente è V vale per la prima legge di Ohm:
e
Allora riapplicando la legge di Ohm alle due resistenze 2 e x possiamo scrivere le tensioni ai loro capi come:
e
Ma per la condizione di equilibrio deve essere:
V2 = Vx
Quindi:
Semplifico V ad ambo i membri:
Procediamo eliminando i denominatori moltiplicando ambo i membri per il denominatore dell'altro membro:
Il prodotto R2∙Rx si trova ad ambo i membri quindi può essere semplificato:
Questa rappresenta la condizione di equilibrio di un ponte di Wheatstone: semplicemente il prodotto delle resistenze poste nei lati opposto del rombo deve essere uguale.
Formule relative al ponte di Wheatstone
Risolviamo ora il circuito proponendoci di trovare un'espressione che leghi Vab alla tensione V del generatore.
Consideriamo sempre la maglia ABD e scriviamo la legge delle maglie:
V2 - Vab - Vx = 0
cioè:
Vab = V2 - Vx
Per le formule viste prima:
e
E quindi:
Dividendo ambo i membri per V:
Utilizzo
Per utilizzare questo schema circuitale e misurare una resistenza incognita Rx, la resistenza R2 è una resistenza variabile.
Conoscendo il valore della resistenza di R1 e R3 e variando manualmente il valore della resistenza R2 si arriva fino a quel valore di R2 per cui non passa più corrente nel ponte centrale ab (da cui prende il nome tutto lo schema) e quindi si verifica la condizione di equilibrio del ponte e dalla condizione
Si può ricavare il valore della resistenza incognita come:
Esempio
Considera un ponte di Wheatstone con R1 = 1 Ω, R2 = 2 Ω e Rx = 3 Ω. Quale deve essere il valore di R3 per avere la condizione di equilibrio?
Svolgimento dell'esempio
La condizione di equilibrio del ponte di Wheatstone corrisponde ad avere una tensione nulla nel ponte centrale che si ha quando si verifica che:
Si può ricavare il valore della resistenza R3 come:
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