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Esercizio sul teorema di Norton

Esercizio svolto sul teorema di Norton

Dato il seguente circuito determinare la corrente che scorre nella resistenza R6 cioè IR6.

Si sappia che:

R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = 100 Ω

e che:

E1 = E2 = 5 V

Esercizio sul teorema di Norton

Svolgimento dell'esercizio

Applichiamo il teorema di Norton al circuito elettrico proposto. Scegliamo i due morsetti A e B ai capi del resistore 6:

Per cui il circuito da ridurre a generatore reale di corrente è:

Calcoliamo la IN e la RN del bipolo equivalente di Norton.

Per calcolare la resistenza equivalente del bipolo, non essendo presenti generatori ideali di corrente da aprire, annulliamo soltanto contemporaneamente tutti i generatori ideali di tensione cioè cortocircuitiamoli.

Calcoliamo adesso la resistenza equivalente di questo circuito semplificato. Le resistenze R1 ed R2 sono in parallelo quindi la loro resistenza equivalente R12 vale:

Il parallelo di R1 e R2 è collegato in serie con R3 per cui la loro resistenza equivalente R12-3 vale:

Questa resistenza R12-3 è collegata a sua volta in parallelo con R4, per cui:

Infine quest’ultima resistenza è in serie con R5 per cui la resistenza complessiva di Norton RN varrà:

RN = R12-3,4 + R5 = 60 Ω + 100 Ω = 160 Ω

Per determinare la corrente tra i morsetti A e B li cortocircuitiamo:

L’obiettivo è calcolare la IN ovvero la corrente di cortocircuito che scorre tra i morsetti A e B. Applichiamo allora il teorema di Thevenin scegliendo opportunamente altri due morsetti C e D che semplificano il circuito in questo modo:

La resistenza equivalente di Thevenin ai morsetti C e D si calcola annullando contemporaneamente i generatori ideali E1 ed E2 per cui R1 ed R2 rimangono collegati in parallelo:

Rth = 50 Ω

Per la tensione di Thevenin tra i morsetti C e D consideriamo la maglia:

Applichiamo la legge delle maglie di Kirchhoff e segniamo i versi delle tensioni prendendo come positivo il verso orario:

La somma delle tensioni nella maglia è:

E1 – V1 – V2 – E2 = 0

Ma essendo le resistenze identiche ed entrambe collegate ad un generatore che eroga la stessa tensione saranno attraversate dalla stessa corrente i:

E1 – i ∙ R1 – i ∙ R2 – E2 = 0

Quindi la corrente che scorre nella maglia è

Per cui tra i morsetti C e D vi è solo come contributo in termini di tensione di E2 = 5 V
ECD = Eth = 5 V.

Semplifichiamo dunque il circuito ai morsetti C e D inserendo il bipolo che rappresenta un generatore reale di tensione:

Le resistenze R4 ed R5 risultano connesse in parallelo e il loro equivalente vale

R45 = 50 Ω

La resistenza equivalente è dunque pari alla somma delle tre resistenze in serie Rth, R3 ed R45:

Re = 50 Ω + 100 Ω + 50 Ω = 200 Ω

La corrente i che scorre nell’equivalente è

i = Eth / Re = 5 / 200 = 0,025 A

La caduta di tensione ai capi di R45 è

V45 = R45 ∙ i = 50 ∙ 0,025 = 1,25 V

Le resistenze R4 ed R5 risultando connesse in parallelo avranno entrambe allora caduta di tensione pari a 1,25 V. La corrente che scorre in R5 sarà quella che passa nel cortocircuito tra A e B:

IN = V5 / R5 = 1,25 / 100 = 0,0125 A

che rappresenta appunto la corrente erogata dal generatore ideale di corrente di Norton.
Torniamo adesso al circuito originario sostituendo il bipolo di Norton (generatore ideale di corrente con IN = 0,0125 A in parallelo a RN = 160 Ω) ai morsetti A e B:

La resistenza equivalente del circuito vale:

La caduta di tensione ai capi di questa resistenza equivalente è:

V = RN-6 ∙ IN = (800/13) ∙ 0,0125 = 0,769 V = VN = V6

Che è anche la caduta di tensione ai capi di R6 essendo in parallelo con RN e quindi la corrente che scorre in R6 vale:

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