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Calcolo dell'induttanza in un circuito LC

Esercizio sul calcolo dell'induttanza in un circuito LC

Si consideri un circuito LC formato da un condensatore di capacità pari a 85 nF e da una bobina con coefficiente di autoinduzione L non noto.

Si sa che la tensione ai capi delle armature del condensatore è massima al tempo t = 0 mentre la corrente nella bobina diventa massima dopo un intervallo di tempo pari a 1,2 μs.

Determina il valore dell’induttanza del circuito sapendo che la massima corrente che attraversa il solenoide vale 24 mA.

Svolgimento dell'esercizio

Per risolvere il problema è necessario conoscere la legge con cui oscillano rispetto al tempo la carica elettrica presente sulle armature del condensatore e la corrente elettrica che attraversa l’induttanza. Esse sono rispettivamente:

q(t) = Q ∙ cos(ω∙t)

e

i(t) = ω∙ Q ∙ sen(ω∙t)

in cui Q è la carica massima sul condensatore, ω è la pulsazione dell’oscillazione ed è pari a:

pulsazione dell'oscillazione circuito lc

Ora sappiamo che all’istante di tempo t = 0 la ddp ai capi del condensatore è nulla quindi anche la sua carica è nulla.

Infatti Q(t) e V(t) sul condensatore sono legati in ogni istante tra di loro secondo la relazione:

C = Q(t) / V(t)

e possiamo scrivere che:

Q(t) = C ∙ V(t)

Ora Q(t) e i(t) sono sfasati tra di loro di π/2 in quanto quando il primo è zero il secondo è massimo, così come le funzioni seno e coseno.

Per cui possiamo dedurre che l’argomento della funzione i(t) al tempo t = 1,2 μs deve necessariamente essere pari a π/2; infatti l’argomento del seno valendo π/2 fa sì che il seno valga 1 e che quindi la corrente assuma il suo valore massimo pari a ω∙Q.

calcolo induttanza

E da questa ricaviamo il valore di L:

pulsazione dell'oscillazione circuito lc

Eleviamo al quadrato ambo i membri:

ω2 = 1 / (L∙C)

Calcolo dell'induttanza in un circuito LC

Pertanto l'induttanza del circuito Lv vale 6,9 mH.

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