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Teorema di Coulomb

Che cosa afferma il teorema di Coulomb?

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Se si continua con la lettura dell'articolo. In questa pagina del sito vedremo infatti che cosa afferma il teorema di Coulomb.

Enunciato del teorema di Coulomb

Dato un conduttore carico in equilibrio elettrostatico, cioè con le cariche già disposte sulle superficie, il teorema di Coulomb afferma che il modulo del campo elettrico in un punto P della superficie è legato alla densità superficiale di carica in quel punto dalla relazione:

E = |σ| / ε

Il campo elettrico in un punto P sulla superficie di un conduttore è cioè pari al rapporto del modulo della densità superficiale di carica per la costante dielettrica assoluta del mezzo in cui è immerso il conduttore qualunque sia la forma del conduttore.

Ricordiamo ovviamente che all’interno di un conduttore il campo elettrico è nullo ed il potenziale elettrico risulta invece costante.

Dimostrazione del teorema di Coulomb

Prendiamo un conduttore carico di forma qualsiasi già all’equilibrio elettrostatico.

Le cariche si sono già disposte sulla superficie con una densità di carica non uniforme ma che dipende dal raggio di curvatura della superficie del conduttore stesso: in particolare la densità di carica sarà maggiore laddove il raggio di curvatura è più piccolo.

Scegliamo dunque un punto dove vogliamo calcolare il campo elettrico in prossimità della superficie e immaginiamo di volerne calcolare il flusso attraverso la superficie Ω di un cilindro parzialmente immerso nel conduttore:

Possiamo affermare che il campo elettrico può essere rappresentato da semirette uscenti/entranti dal piano ma in ogni caso perpendicolari sia al piano stesso sia ad entrambe le superfici di base del cilindro, mentre risulteranno paralleli alla sua superficie laterale.

Il flusso del campo elettrico totale può essere calcolato a partire da tre componenti: i due flussi attraverso le due superfici di base e quello attraverso la superficie laterale.

Tuttavia il flusso del campo elettrico attraverso la base immersa nel conduttore è nullo, in quanto il campo elettrico all’interno del conduttore vale 0.

Quello relativo alla superficie laterale del cilindro vale zero. Infatti ricordando che il flusso altro non è che il prodotto scalare tra il vettore campo elettrico e il vettore normale alla superficie considerata, e che il prodotto scalare si calcola come prodotto tra i moduli dei due vettori per il coseno dell’angolo tra essi compresi, possiamo dunque concludere che il flusso attraverso la superficie laterale del cilindro risulta nullo, essendo il vettore campo e il vettore perpendicolare alla superficie disposti formando un angolo di 90° tra di loro (cos90 = 0).

Allora il flusso totale sarà dato unicamente dal flusso attraverso la superficie di base esterna del cilindro.

Ora immaginiamo di suddividere questa superficie di base in tante piccolissime superfici ognuna di area ΔSi tale che la somma di tutte queste piccole porzioni di superfici del cilindro diano proprio la superficie di base del solido che è pari a π∙r2 con r raggio di base del cilindro:

ΔS1 + ΔS2 + ΔS3 +……+ ΔSn = π∙r2

Il campo elettrico generato dal conduttore avrà le linee di campo ortogonali al punto P del conduttore e alla superficie di base del cilindro.

Essendo ogni elemento in cui è stata suddivisa la superficie di base del cilindro molto piccolo, il vettore campo risulterà parallelo alla normale di ogni piccolo elemento di area ΔS.

Dunque il flusso del campo elettrico calcolato attraverso ogni piccolo elemento di area ΔS sarà unicamente pari al prodotto tra modulo del campo elettrico ed area stessa (essendo l’angolo zero tra la normale ed il campo e cos0 = 1).

Allora il flusso risulterà pari a:

Φcilindro(E) = E1∙ΔS1 + E2∙ΔS2 +…+ En∙ΔSn

Φcilindro(E) = E∙ (ΔS1 + ΔS2 +…+ ΔSn)

Φcilindro(E) = E ∙(ΔS1 + ΔS2 +…+ ΔSn)

E ricordando che:

ΔS1 + ΔS2 + ΔS3 +……+ ΔSn = π∙r2

avremo:

Φcilindro(E) = E∙ π∙r2

Applichiamo ora il teorema di Gauss per cui il flusso del campo elettrico attraverso la superficie del cilindro risulta comunque pari alla carica totale contenuta all’interno diviso la costante dielettrica nel vuoto:

Detta σ la densità superficiale di carica locale nel punto P del conduttore in particolare risulta che:

σ = ΔQ/S

cioè il rapporto tra tutta la carica distribuita in quel punto del conduttore fratto l’area infinitesimale stessa che coincide con l’area di base del cilindro.

Per cui la carica globale sul punto dentro al cilindro vale:

Q = σ ∙ S = σ ∙ π ∙ r2

Allora in definitiva avremo che:

E∙ π ∙ r2 = σ ∙ π ∙ r2 / ε0

Per cui il campo elettrico generato da un conduttore carico in prossimità della sua superficie è pari al rapporto tra la densità superficiale di carica, in modulo, e la costante dielettrica assoluta del materiale in cui è immerso il conduttore:

E = |σ| / ε

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