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Fermione

Che cosa sono i fermioni?

I fermioni rappresentano insieme ai bosoni una delle due classi in cui possono essere classificate tutte le particelle elementari e composte di cui è fatto l'universo.

Il termine fermione deve questo nome al fisico italiano Fermi che introdusse la statistica a cui obbediscono proprio questa categoria di particelle insieme al fisico Dirac, anche se in maniera indipendente.

Esempi di fermioni in natura sono gli elettroni, i protoni, i neutroni, il muone e il tau (che sono leptoni), i relativi neutrini ed i quark.

È necessario distinguere fermioni e bosoni in ambito quantistico quindi quando si ha a che fare con scale di dimensioni estremamente ridotte mentre a livello macroscopico non è necessario tale distinzione.

Ciò che consente di distinguere fermioni e bosoni è il numero di spin. Lo spin (dal verbo inglese to spin che significa girare come una trottola) associato ad una particella può essere compreso immaginando la particella come se fosse una pallina che gira vorticosamente su se stessa proprio come una trottola.

La particella che gira su se stessa possiede un dipolo magnetico che interagisce con un campo magnetico esterno.

Spin

Questa interazione provoca una deviazione nella traiettoria della particella che è diversa dalla deviazione dovuta alla forza di Lorentz che una particella carica subisce quando è immessa in un campo magnetico.

La forza di Lorentz infatti ha una direzione che è perpendicolare contemporaneamente al moto della particella e alla direzione del campo magnetico. L'interazione di spin invece avviene nella stessa direzione del campo magnetico.

I bosoni possono avere solo numero di spin intero (0, 1 , 2…) inoltre essi obbediscono alla statistica di Bose – Einstein.

I fermioni invece hanno solo spin semintero (1/2, 3/2, 5/2…) e possono quindi combinarsi per comporre un bosone mentre più bosoni non potranno mai comporsi per dare vita a una particella con spin semi intero avendo essi spin intero.

Più bosoni con spin intero si possono combinare per dar luogo sempre a bosoni con spin intero.

L'espressione della statistica di Bose Einstein è la seguente:

Statistica di Bose Einstein

in cui:

  • ni è il numero di particelle che popola lo stato i-esimo;
  • gi è la degenerazione di spin (ad esempio per i fotoni la degenerazione è 2);
  • Ei è l'energia dell'i-esimo stato;
  • µ il potenziale chimico;
  • K la costante di Boltzmann;
  • T la temperatura assoluta.

I fermioni sono delle particelle "asociali" a differenza dei bosoni; per essi vale il principio di esclusione di Pauli (principio determinato nel 1945 dal fisico austriaco Pauli).

Tale principio afferma che nella materia condensata due fermioni non possono avere lo stesso numero quantico se occupano lo stesso livello energetico. Cioè due fermioni se sono identici non possono occupare lo stesso stato quantico: due elettroni non possono avere simultaneamente le quantità fisiche che li caratterizzano come posizione, velocità (quantità di moto) e rotazione (spin).

Questo principio oltre a farci comprendere perché gli orbitali atomici di ogni elemento contengono un ben numero determinato di elettroni spiega ad esempio perché certe stelle anche di piccola massa possano esplodere.

A seguito delle continue contrazioni del nucleo subite dalla stella durante la sua evoluzione, la densità centrale aumenta comprimendo gli elettroni gli uni contro gli altri che quindi sono costretti ad occupare le stesse posizioni.

Poiché gli elettroni possono assumere solo spin +½ o -½ (spin up e down) avendo cioè solo due valori a disposizione per la rotazione l'unica possibilità per gli elettroni di soddisfare il principio di Pauli è quello di cambiare ed aumentare le rispettive velocità.

Quando la densità di una stella raggiunge i 10 milioni di grammi per centimetro cubo (ricordiamo che quella dell'acqua è di appena un grammo per centimetro cubo) la pressione elettronica dovuta agli elettroni in rapido movimento è in grado di bilanciare la gravità e di stabilizzare la stella in una nuova configurazione di equilibrio chiamata nana bianca.

Tuttavia esiste una velocità limite che non può essere superata in natura, così come predetto dalla teoria della relatività ristretta di Einstein, ovvero la velocità della luce.

Allora esiste una massa limite per le nane bianche denominata massa di Chandrasekhar che vale circa 1,4 volte la massa del Sole per cui quando la massa della nana bianca supera questo limite gli elettroni della nana bianca dovrebbero muoversi ad una velocità superiore a quella della luce per renderla stabile. Ciò è però impossibile e dunque la stella esplode generando una supernova.

Bosoni e fermioni

Nel limite di temperature prossime allo zero assoluto la distribuzione di Fermi Dirac espressa come rapporto tra ni/gi ovvero come numero di occupazione di uno stato assume valore 1 o 0 ovvero diventa una funzione a gradino.

Infatti l'argomento dell'esponenziale al denominatore sarà +∞ o -∞ a seconda che l'energia sia maggiore o minore del potenziale chimico µ.

Distribuzione di Fermi Dirac

Il potenziale chimico prende il nome di Energia di Fermi per cui i livelli con un energia più bassa hanno numero di occupazione 1, mentre quelli con energia più alta hanno numero di occupazione zero. Questo fatto è una diretta conseguenza del principio di esclusione di Pauli.

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