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Risoluzione di un circuito e calcolo della potenza dissipata su ciascuna resistenza

Risoluzione di un circuito elettrico e calcolo della potenza dissipata su ciascuna resistenza

Risolvere il circuito in figura sapendo che:

V = 12 V

R1 = R3 = R4 = R6 = 2 Ω

R2 = R5 = R7 = R8 = 4 Ω

circuito elettrico

Calcolare inoltre la potenza dissipata su ciascuna resistenza.

Svolgimento dell'esercizio

Per risolvere il circuito e determinare tutte le tensioni e le correnti presenti in esso, attribuiamo convenzionalmente il verso a tensioni e correnti nei vari rami.

Partiamo dalle correnti: nel ramo in cui è presente l’unico generatore di tensione, il verso convenzionale della corrente è quello che esce dal polo positivo e va verso il polo negativo.

Inoltre segniamo il verso delle tensioni ai capi di generatori e resistenze con le regole che conosciamo.

verso tensioni e correnti

Identifichiamo in tutto 8 diverse correnti e quindi 8 diverse incognite. Abbiamo dunque bisogno di 8 differenti equazioni non combinate linearmente tra di loro ma indipendenti in modo da poter risolvere il sistema di 8 equazioni in 8 incognite.

Scriviamo le leggi dei nodi a tutti i nodi presenti nel circuito:

legge dei nodi esercizio

Queste appena scritte rappresentano 5 delle 8 equazioni di cui abbiamo bisogno.

Ricaviamo altre 4 equazioni attraverso le leggi delle maglie.

legge delle maglie esercizio

Applichiamo la prima legge di Ohm e scriviamo le tensioni ai capi delle resistenze come prodotto della resistenza per la corrente che la attraversa:

V1 = R1 ∙ i1

V2 = R2 ∙ i2

V3 = R3 ∙ i3

V4 = R4 ∙ i4

V5 = R5 ∙ i5

V6 = R6 ∙ i6

V7 = R7 ∙ i6

V8 = R8 ∙ i8

Sostituendo alle quattro equazioni precedenti si ha che:

esercizio risoluzione circuito elettrico

Il sistema da risolvere comprensivo delle otto equazioni è quindi:

sostituzione valori

Sostituiamo i valori numerici:

esercizio risoluzione circuito

Otteniamo i seguenti risultati:

i = -6/11 A

i1 = 12/11 A

i2 = 6/11 A

i3 = 18/11 A

i4 = 18/11 A

i5 = -18/11 A

i6 = 0

i8 = 18/11 A

Rispetto ai versi delle correnti indicati le correnti i ed i5 hanno un verso effettivo opposto.

Le tensioni ai capi di ciascuna resistenza valgono:

V1 = R1 ∙ i1 = 2∙12/11 = 24/11 V

V2 = R2 ∙ i2 = 4∙6/11 = 24/11 V

V3 = R3 ∙ i3 = 2∙18/11 = 36/11 V

V4 = R4 ∙ i4 = 2∙18/11 = 36/11 V

V5 = R5 ∙ i5 = 4∙18/11 = 72/11 V

V6 = R6 ∙ i6 = 2∙0 = 0 V

V7 = R7 ∙ i6 = 4∙0 = 0 V

V8 = R8 ∙ i8 = 4∙18/11 = 72/11 V

Le potenze dissipate su ciascuna resistenza sono pari a:

P1 = R1 ∙ i12 = 2∙(12/11)2 = 2,38 W

P2 = R2 ∙ i22 = 4∙(6/11)2 = 1,19 W

P3 = R3 ∙ i32 = 2∙(18/11)2 = 5,36 W

P4 = R4 ∙ i42 = 2∙(18/11)2 = 5,36 W

P5 = R5 ∙ i52 = 4∙(18/11)2 = 10,71 W

P6 = R6 ∙ i62 = 2∙0 = 0 W

P7 = R7 ∙ i62= 4∙0 = 0 W

P8 = R8 ∙ i82 = 4∙(18/11)2 = 10,71 W

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