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Esercizio sulle leggi di Kirchhoff

Esercizio svolto sulle leggi di Kirchhoff

Nel circuito in figura si conoscono i valori di : ΔV1 = 9 V, ΔV2 = 6 V, R1 = 1 Ω, R2 = 3 Ω, R3 = 1Ω.

Determina in verso e valore tutte le correnti presenti nel circuito.

Esercizio svolto sulle leggi di Kirchhoff

Svolgimento dell'esercizio

Per risolvere il circuito e determinare tutte le correnti presenti in esso, attribuiamo convenzionalmente il verso a tensioni e correnti nei vari rami.

Partiamo dalle correnti: nei rami in cui sono presenti i generatori di tensione, il verso convenzionale della corrente è quello che esce dal polo positivo e va verso il polo negativo.

verso correnti

Nel nodo A quindi entra la corrente i1 ed esce la corrente i3. Ipotizziamo che esca anche la corrente i2 dallo stesso nodo.

Inoltre segniamo il verso delle tensioni ai capi di generatori e resistenze con le note regole.

verso tensioni

Scriviamo la legge dei nodi e la legge delle maglie per il circuito. Scegliamo come positivo il verso orario ed individuiamo le maglie presenti nel circuito:

maglia 1 : R2 – R3 – ΔV2 – R2

maglia 2 : R2 – ΔV1 – R1 – R2

maglia 3: ΔV2 – R3 - ΔV1 – R1 - ΔV2

Per il nodo A vale la relazione:

i1 = i2 + i3

Per il nodo B:

i2 + i3 = i1

le due equazioni sono equivalenti.

Dobbiamo cercare altre due relazioni essendo 3 le incognite (i1, i2 e i3).

Scriviamo la legge delle maglie per la maglia 1.

Indichiamo con V1, V2 e V3 le tensioni ai capi rispettivamente di R1, R2 ed R3:

-V2 + V3 – ΔV2 = 0

Mentre per la maglia 2:

-V2 + ΔV1 – V1 = 0

Applichiamo la prima legge di Ohm e scriviamo le tensioni ai capi delle resistenze come prodotto della resistenza per la corrente che la attraversa:

V1 = R1 ∙ i1

V2 = R2 ∙ i2

V3 = R3 ∙ i3

Allora le due leggi delle maglie scritte sopra diventano:

- R2 ∙ i2 + R3 ∙ i3 – ΔV2 = 0

- R2 ∙ i2 + ΔV1 – R1 ∙ i1 = 0

Il sistema da risolvere comprensivo delle tre equazioni è quindi:

risoluzione esercizio svolto sulle leggi di kirchhoff

Sostituiamo i valori numerici:

valori numerici

Risolvendo il sistema per sostituzione progressiva si ha che:

i1 = 54/7 A

i2 = 3/7 A

i3 = 51/7 A

I versi delle correnti indicati nel disegno sono dunque tutti corretti in quanto i risultati sono tutti di segno positivo.

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