Teorema di Norton

Che cosa afferma il teorema di Norton?

Il teorema di Norton è applicabile a un qualsiasi circuito elettrico di tipo lineare che fa capo a due morsetti A e B, contenente resistenze e generatori ideali:

circuito elettrico di tipo lineare

Ricordiamo che un circuito si dice lineare se rispetta il principio di sovrapposizione degli effetti.

I sistemi lineari hanno come caratteristica una linea retta. La curva caratteristica è il grafico cartesiano che ha la tensione V sull'asse delle ordinate e la corrente i sulle ascisse. I circuiti elettrici con resistenze e generatori ideali sono sicuramente lineari per cui vale il principio di sovrapposizione degli effetti.

Caratteristica di un circuito lineare

Un circuito costituito solo da resistenze ha una curva caratteristica rappresentata da una retta crescente passante per l'origine la cui pendenza dipende dalla resistenza equivalente vista dai due morsetti:

V = R_e ∙ i

Circuito lineare

Cioè le resistenze provocano una caduta di tensione che aumenta all'aumentare della corrente.

Un circuito costituito solamente da un generatore ideale di corrente ha come curva caratteristica una retta verticale posizionata proprio sul valore i_g che fornisce il generatore:

La caratteristica infine di un circuito più complesso, che fa capo a due morsetti a e b contenente diversi generatori e diverse resistenze, è una retta decrescente. La tensione dei generatori ideali va diminuendo man mano che aumenta la corrente poiché man mano va ad aumentare la caduta di tensione:

Teorema di Norton: enunciato

La curva caratteristica di un circuito lineare rappresentato da una retta decrescente potrebbe essere la stessa curva caratteristica propria di un bipolo che rappresenta un generatore reale di corrente costituito da un generatore ideale di corrente in parallelo con una resistenza:

Generatore reale di corrente collegato in serie ad una resistenza

In figura è rappresentato un generatore reale di corrente collegato in serie ad una resistenza di carico R_L (figura a), il generatore reale di corrente isolato dal resto del circuito e costituto dal collegamento in parallelo di un generatore ideale di corrente i_S con una resistenza r_s (figura b) e la caratteristica di un generatore reale di corrente rappresentato da una retta decrescente che assume valore pari al prodotto di r_s∙i_s per i=0 e di 0 per i=i_s.

Da qui il teorema di Norton (che è il duale del teorema di Thevenin) il cui enunciato è:
data una qualsiasi rete elettrica lineare che fa capo a due morsetti A e B essa è equivalente ad un bipolo formato dal collegamento in parallelo di un generatore ideale di corrente e di una resistenza opportunamente scelte.

In sostanza tutto il circuito complesso comprensivo di più generatori ideali e resistenze può essere sostituito, senza che il resto del circuito se ne accorga, da un semplice bipolo con la medesima curva caratteristica.

Teorema di Norton

La resistenza R_N del bipolo (N sta per Norton) è il valore della resistenza equivalente vista dai due morsetti A e B calcolata annullando contemporaneamente tutti i generatori ideali di tensione (cioè sostituendo a loro posto un corto circuito) ed aprendo i generatori ideali corrente.

I_N rappresenta la corrente di cortocircuito fra i morsetti A e B (cioè quella che passa dal ramo che andiamo a disegnare tra di essi mettendoli in collegamento diretto).

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