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Esercizio su effetto Doppler relativistico

Esercizio svolto e commentato su effetto Doppler relativistico

A che velocità dovrebbe muoversi un corpo verso una sorgente di luce monocromatica rossa (λ = 650 nm) affinchè essa sia percepita come verde (λ = 525 nm)?

Svolgimento dell'esercizio

Il corpo che si sta muovendo a velocità v verso la sorgente che ha emesso il segnale luminoso percepisce una frequenza f' pari a:

effetto doppler relativistico 2

con β = v / c e in cui v è la velocità incognita da ricavare e c è la velocità della luce nel vuoto c = 3 ∙ 108 m/s.

Ricordando che tra lunghezza d'onda λ e frequenza f esiste il rapporto

c = λ ∙ f

allora:

f = c / λ

Quindi la formula dell'effetto Doppler relativistico scritto in funzione delle lunghezze d'onda sarà pari a:

Esercizio su effetto Doppler relativistico

con

λ' = 525 ∙ 10-9 m

e

λ = 650 ∙ 10-9 m

Eleviamo al quadrato ambo i membri:

λ2 / λ'2 = (1 + β) / (1 - β)

Da cui:

λ2 ∙ (1 - β) = λ'2 ∙ (1 + β)

λ2 - λ2 ∙ β = λ'2 + λ'2 ∙ β

λ'2 ∙ β + λ2 ∙ β = λ2 - λ'2

(λ'2 + λ2)∙ β = λ2 - λ'2

Da cui ricaviamo β:

calcolo beta

Essendo:

β = v / c = 0,21

Si ottiene:

v = 0,21∙ c = 0,63 ∙ 108 m/s

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