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Calcolo della massima corrente di spostamento

Esercizio sul calcolo della massima corrente di spostamento

Un condensatore ad armature circolari di raggio r = 50 cm e di capacità 100 pF è collegato ad un generatore di tensione alternata che fornisce una fem variabile nel tempo secondo la legge V(t)= 2∙105 sen(2∙π∙50∙t) con V espressa in Volt e t in secondi.

Determinare la massima corrente di spostamento imax che si crea tra le armature del condensatore.

Svolgimento dell'esercizio

La corrente di spostamento Is è pari al prodotto della costante dielettrica nel vuoto per la derivata rispetto al tempo del flusso del campo elettrico calcolato attraversato una superficie di riferimento:

In particolare il flusso del campo elettrico è pari al prodotto del modulo del campo elettrico  per la superficie attraverso la quale stiamo calcolando il flusso per il coseno dell’angolo tra la normale alla superficie e le linee di campo.

Ricordiamo che il campo elettrico che si crea tra le armature di un condensatore è un campo uniforme ed è quindi descritto da linee di campo parallele che vanno dall’armatura positiva a quella negativa.

Pertanto queste linee risultano perpendicolari alla superficie attraverso la quale calcoliamo il flusso e che è posta tra le due armature parallelamente ad esse e della stessa forma circolare:

Il coseno tra le linee di campo elettrico e la normale alla superficie vale 1 in quanto essi sono paralleli.

Allora il flusso del campo elettrico attraverso una superficie circolare parallela alle armature e della stessa area vale:

Il modulo del campo elettrico in funzione della tensione V applicata al condensatore è pari al rapporto tra fem e distanza tra le armature:

E = V / d

Conosciamo però la capacità C del condensatore e ricordando che essa si calcola come:

C = ε0 ∙ S / d

In cui S è la superficie delle armature e d la distanza tra di esse otteniamo che il campo elettrico è uguale a:

È importante notare che la tensione V è funzione del tempo e quindi anche il campo elettrico E sarà variabile nel tempo generando dunque una corrente di spostamento.

Il flusso di tale campo attraverso la superficie S vale:

Deriviamo rispetto al tempo il flusso del campo elettrico per ottenere la corrente di spostamento.

Ricordando che la derivata di seno è coseno per la derivata dell’argomento della funzione otteniamo:

La corrente di spostamento varia come una funzione cosinusoidale compresa tra 1 e -1. Quindi il valore massimo che essa assumerà sarà pari a:

Massima corrente di spostamento

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