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Calcolo della costante dielettrica nel vuoto

Calcolo della costante dielettrica nel vuoto a partire dall’espressione della capacità di un condensatore

Ricavare la formula che consente di calcolare la costante dielettrica nel vuoto ε0 a partire dall’espressione della capacità di un condensatore e procedere all’analisi dimensionale delle unità di misura.

Svolgimento dell'esercizio

Sappiamo che nel vuoto la capacità C di un condensatore piano è direttamente proporzionale alla superficie S delle armature ed inversamente proporzionale alla distanza d a cui esse sono poste cioè:

C = ε0 · s / d

Ricaviamo la formula inversa per calcolare la costante dielettrica nel vuoto:

ε0 = C · d / S

Le unità di misura coinvolte sono il Farad, il metro e il metro quadrato.

Ricordando che la capacità di un condensatore è definita come il rapporto tra carica presente sulle armature e differenza di potenziale tra le stesse, si può scrivere che:

1 F = 1 C / 1 V

Il volt ovvero la differenza di potenziale elettrico è definita come il rapporto tra il lavoro compiuto per spostare una carica q da un punto all’altro dello spazio a diverso potenziale e la carica stessa, avremo:

1 farad

Ma il lavoro è il prodotto di forza e spostamento e dunque accorpando tutti questi elementi sulle unità di misura possiamo scrivere che il Farad dimensionalmente parlando è pari a:

[F] = [C] · [C] / ([N] · [m]) = [C]2 / ([N] · [m])

In definitiva l’unità di misura di ε0 risulta:

Coerente con l’unità di misura che conoscevamo già e avevamo ricavato dalla legge di Coulomb:

Ovvero:

espressione costante dielettrica nel vuoto

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