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Trasformazioni di Lorentz

Che cosa sono le trasformazioni di Lorentz?

Nel 1632 nel suo "Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo", Galileo enuncia per la prima volta il principio di relatività per cui :

1) Il moto è relativo, ovvero si può dire che un sistema di riferimento è in moto solo se lo si confronta con un altro sistema di riferimento;

2) tutte le leggi della meccanica sono valide in ogni sistema di riferimento inerziale, ovvero sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme tra di loro.

Questo vuol dire che le leggi della fisica non permettono di capire se un sistema di riferimento è in moto rettilineo uniforme rispetto ad un altro ed inoltre tutti i sistemi di riferimento inerziali sono fisicamente equivalenti proprio perché i fenomeni fisici avvengono nella stessa identica maniera.

Le trasformazioni di Galileo

Per consentire di studiare dunque il moto di un oggetto posto in un certo sistema di riferimento dal punto di vista di diversi sistemi di riferimento, Galileo ideò delle equazioni che consentivano di ricavare l'espressione delle grandezze cinematiche di spazio e velocità in un certo sistema di riferimento S' conoscendone il valore in un altro sistema S.

Queste equazioni sono note con il nome di trasformazioni di Galileo e sono le seguenti:

x' = x - V ∙ t

y' = y

z' = z

t' = t

Ogni sistema è dunque descritto da 3 coordinate spaziali ed una temporale. Gli assi x di entrambi i sistemi sono allineati alla direzione del moto e dunque le coordinate y e z rimangono invariate, così come rimane invariata la coordinata temporale, cioè il tempo è assoluto e scorre alla stessa maniera per tutti gli osservatori indipendentemente dal sistema di riferimento in cui si ci trova.

Dalla prima equazione, dividendo ambo i membri per t si ricava la legge di composizione delle velocità:

x'/t = x/t – V

v' = v – V

che può essere riscritta come:

v = v' + V

Ad esempio, se si ci trova su di un treno in moto a 50 m/s e si procede a 1 m/s nella stessa direzione del treno, rispetto a terra la velocità sarà di (50+1) m/s = 51 m/s.

Se invece si ci muove nella direzione opposta a quella del treno la velocità rispetto a terra sarà di 49 m/s.

Calcoliamo adesso quanto vale la variazione di velocità Δv':

Δv' = v'2 – v'1 = (v2 – V) – (v1 – V) = v2 – v1 = Δv

Ovvero la variazione delle velocità delle velocità rimane costante e quindi dividendo per l'intervallo di tempo, anch'esso invariante nei 2 sistemi di riferimento inerziali, otteniamo che le accelerazioni subite dai due corpi in entrambi i sistemi S ed S':

a' = a

Le trasformazioni di Lorentz

Dopo la pubblicazione nel 1873 del trattato sull'elettromagnetismo da parte di Maxwell e la conseguenza scoperta delle onde elettromagnetiche si pose una grossa questione.

Le onde elettromagnetiche ipotizzate da Maxwell e sperimentalmente verificate dal fisico tedesco Hertz nel 1888, godevano infatti di una bizzarra proprietà per cui la velocità finita con cui esse si propagano (c = 299792458 m/s nel vuoto) era sempre la stessa indipendentemente dalla velocità della sorgente che le emette, cioè indipendentemente dal sistema di riferimento considerato.

Questo comportamento risulta in completa contraddizione con le trasformazioni di Galileo appena citate, che invece descrivono benissimo tutti gli altri fenomeni per cui vale invece la legge di composizione delle velocità.

Se per la luce valesse la regola di composizione della velocità, se essa venisse emessa da una sorgente in moto a velocità V allora avrebbe una velocità di propagazione V+c.

Tuttavia la velocità della luce indipendentemente dal moto o dallo stato di quiete delle sorgente che l'ha emessa risulta sempre pari a c.

Noto che non esiste nessun sistema di riferimento privilegiato nel quale la luce si propaga visto che la luce si propaga anche nel vuoto, l'unico modo di rendere le equazioni di Maxwell invarianti rispetto a qualsiasi sistema di riferimento inerziale (cioè un sistema di riferimento che si sta muovendo a velocità costante rispetto a qualcosa di fisso) era riscrivere le trasformazioni di Galileo.

In particolare nel 1904 il fisico olandese Lorentz propose un nuovo modello di equazioni rispetto a quelle di Galileo della meccanica classica.

Tali trasformazioni sono dette appunto trasformazioni di Lorentz:

trasformazioni di Lorentz

Il termine:

fattore di Lorentz

si indica solitamente con la lettera greca γ (gamma) e si dice fattore di Lorentz o fattore relativistico.

Dalle trasformazioni di Lorentz si evince come la coordinata temporale si modifica in ogni sistema di riferimento in base alla velocità posseduta, tanto quanto si modifica anche la coordinata spaziale, mentre le coordinate perpendicolari alla direzione del moto, y e z, rimangono invarianti come nelle trasformazioni di Galileo.

Esse risultano valide come un sottocaso delle più generali trasformazioni di Lorentz quando la velocità del corpo è molto inferiore a quelle della luce ovvero nell'ipotesi v<<c (ovvero nei casi di tutti i giorni).

Come spiegherà dopo Einstein, le trasformazioni di Lorentz prevedono correttamente il fenomeno della contrazione delle lunghezze e della dilatazione dei tempi tra sistemi di riferimento diversi tanto più quanto la velocità v del sistema è elevata e prossima a quella della luce.

Invariante relativistica

Passando da un sistema di riferimento ad un altro sia la distanza spaziale Δx sia l'intervallo temporale Δt misurato tra due eventi risultano differenti.

Esiste tuttavia una grandezza detta invariante relativistica che invece risulta invariante quando si passa da un sistema di riferimento al un altro; tale grandezza indicata con Δs e detta anche intervallo spazio temporale si calcola come:

(Δs)2 = (c∙Δt)2 - (Δl)2

in cui Δl è la distanza tridimensionale che separa due eventi pari a:

distanza tridimensionale che separa due eventi

e dunque:

(Δs)2 = (c∙Δt)2 - (Δx)2 - (Δy)2 - (Δz)2

Applicando le trasformazioni di Lorentz si verifica che l'intervallo spazio temporale rimane invariato e dunque:

(Δs')2 = (Δs)2

L'intervallo spazio temporale anche se è espresso elevato al quadrato può essere negativo, positivo o nullo in quanto non siamo più confinati entro gli ambiti della geometria euclidea in cui le distanze posso essere positive o nulle bensì stiamo considerando uno spazio a 4 dimensioni.

Se (Δs)2 > 0 l'intervallo è di tipo tempo, ovvero tra i due eventi può esserci correlazione, un un segnale emesso dall'evento 1 può arrivare all'evento 2 influenzandolo, questo perché la distanza spaziale Δl tra i due eventi è minore della distanza c∙Δt percorsa dalla luce nell'intervallo di tempo Δt che li separa.

Se (Δs)2 < 0 l'intervallo si dice di tipo spazio e rispetto al caso precedente questa volta la distanza spaziale Δl tra i due eventi è maggiore della distanza c∙Δt percorsa dalla luce nell'intervallo di tempo Δt che li separa dunque tra i due eventi non può sussistere alcuna correlazione di causa effetto.

Se (Δs)2 = 0 l'intervallo si dice di tipo luce e solo un segnale luminoso che parte dal primo evento raggiungendo il secondo può influenzarlo.

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