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Contrazione delle lunghezze

Legge della contrazione delle lunghezze

Così come due osservatori posti in moto relativo tra di loro misurano intervalli di tempo diversi, essi misureranno anche intervalli di lunghezze diverse, cioè saranno in disaccordo pure sulle misure delle dimensioni.

Ciò discende direttamente dal fatto che la velocità della luce rimane invariante rispetto a qualsiasi sistema di riferimento inerziale, dunque devono necessariamente essere lo spazio e il tempo a cambiare affinchè c rimanga sempre costante.

La legge della contrazione delle lunghezze

La lunghezza Δx' di un segmento per un osservatore che lo vede in moto uniforme in direzione longitudinale è pari al prodotto della lunghezza Δx (lunghezza propria) del segmento per un osservatore che lo vede fermo per il reciproco del fattore relativistico γ:

in cui v è la velocità con cui si sta muovendo il corpo rispetto ad un riferimento fisso.

Poiché il reciproco del fattore relativistico

è sempre una quantità inferiore a 1, vuol dire che la lunghezza misurata da un osservatore fermo risulterà sempre minore della lunghezza propria.

Paradosso del garage

Un altro paradosso che può essere utile esporre per capire gli effetti relativistici sul moto è il cosiddetto paradosso del garage.

Si tratta di un altro esperimento ideale o mentale ovviamente irrealizzabile nella pratica ma in linea di principio coerente con la teoria esposta.

Immaginiamo che vi sia un garage dotato di due aperture, un'entrata ed un'uscita, e che questo garage abbia una certa lunghezza L.

Ipotizziamo che un'auto che sta viaggiando a velocità relativistiche si avvicini al garage.

La lunghezza di quest'auto, dal punto di vista di un osservatore posto nel garage e quindi fermo, è superiore alla lunghezza del garage stesso.

Dunque teoricamente l'auto non potrebbe mai essere contenuta totalmente all'interno del garage.

Tuttavia sappiamo che quando un corpo si muove a velocità relativistiche esso subisce una contrazione della propria lunghezza; per un osservatore fermo tale lunghezza risulta pari a:

Δx' = Δx / γ

Allora ad una certa velocità, l'auto che sta transitando potrebbe essere contenuta totalmente all'interno del garage essendosi contratta nella propria lunghezza e per l'osservatore fermo potrebbe accadere il fenomeno per il quale entrambe le porte del garage si chiudano contemporaneamente ed istantaneamente in modo che l'auto rimanga confinata dentro per una frazione di tempo brevissima, per poi riaprirsi e permettere all'auto di uscire fuori.

Paradosso del garage

Ma per l'osservatore posto sull'auto le cose vanno ben diversamente. Egli risulta fermo rispetto al suo sistema di riferimento, l'auto, mentre per lui è il garage che si sta avvicinando alla stessa velocità con cui l'auto sta procedendo.

Allora egli vedrà il garage accorciato rispetto alla lunghezza propria, che già era inferiore alla lunghezza dell'auto, e adesso tantomeno l'osservatore a bordo non potrebbe mai vedere l'auto totalmente confinata all'interno del garage.

Come è possibile dunque che per l'osservatore fermo le porte riescano a chiudersi e a confinare per un istante l'auto mentre per chi è a bordo questo non può accadere? Forse la realtà ed i fenomeni non accadono nei diversi sistemi di riferimento?

La risposta è in realtà molto semplice. Le porte si chiudono per entrambi gli osservatori, quindi il fenomeno accade. Ciò che cambia è la simultaneità degli eventi. Infatti sappiamo bene che due eventi che sono simultanei in un certo sistema di riferimento non lo sono in un altro.

Nel nostro caso la simultaneità delle porte che si chiudono contemporaneamente per l'osservatore fermo posto nel garage, non è più presente per l'osservatore in movimento, che vedrà invece prima chiudersi la porta di uscita quando ancora il muso dell'auto è dentro il garage e la coda fuori, poi la porta di uscita si aprirà, il muso dell'auto uscirà fuori, la coda entrerà dentro e solo in un secondo momento, successivo rispetto al primo, si chiuderà anche la porta di ingresso per poi riaprirsi, quando la coda dell'auto è già dentro al garage mentre il muso ne è fuori.

Invarianza delle lunghezze perpendicolari alla direzione del moto

Le lunghezze misurate lungo direzioni perpendicolari alla velocità relativa con cui si sta muovendo un corpo risultano invarianti per qualsiasi sistema di riferimento inerziale.

Le lunghezze che subiscono contrazione dunque risultano solo quelle longitudinali alla direzione del moto stesso.

Esercizio #1

È misurata la lunghezza di una lunga asta in condizioni di quiete e si ricava il valore di 100 m.

L'asta viene dunque messa in movimento a velocità costante pari a 0,300 ∙ c.

La direzione della velocità coincide con la direzione della lunghezza della sbarra stessa.

Determinare il tempo necessario affinchè la sbarra sorvoli completamente un osservatore fermo.

Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: esercizio sulla legge della contrazione delle lunghezze.

Esercizio #2

Una sbarra possiede una lunghezza propria di 1,2 m e sta viaggiando ad una velocità di 0,60∙c rispetto ad un sistema di riferimento S e risulta inclinata di 45° rispetto all'orizzontale nel sistema di riferimento solidale con la sbarra stessa.

sbarra che viaggia a velocità relativistiche

Determinare quale sarà l'angolo di inclinazione della sbarra per un osservatore posto nel sistema S.

Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: sbarra che viaggia a velocità relativistiche.

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