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Spazio-tempo

Che cos'è lo spazio tempo di Minkowski?

Dalla teoria della relatività si evince che per indicare un evento si devono necessariamente usare 4 coordinate: le 3 coordinate spaziali classiche x, y e z ed una quarta coordinata ovvero quella temporale t.

In tal modo la quaterna ordinata (x;y;z;t) identificano univocamente un evento collocandolo in un ben preciso punto e in un preciso istante temporale all’interno del sistema di riferimento S scelto.

Si comprende da questa trattazione della realtà a 4 dimensioni che dunque spazio e tempo non sono due concetti indipendenti l’uno dall’altro bensì devono essere pensati come un continuum quadridimensionale che formano la tessitura dell’universo in cui accadono gli eventi.

Invariante relativistica

Passando da un sistema di riferimento ad un altro sia la distanza spaziale Δx sia l’intervallo temporale Δt misurato tra due eventi risultano differenti.

Esiste tuttavia una grandezza detta invariante relativistica che invece risulta invariante quando si passa da un sistema di riferimento al un altro; tale grandezza indicata con Δs e detta anche intervallo spazio temporale si calcola come:

(Δs)2 = (c∙Δt)2 - (Δl)2

in cui Δl è la distanza tridimensionale che separa due eventi pari a:

e dunque:

(Δs)2 = (c∙Δt)2 – (Δx)2– (Δy)2– (Δz)2

Applicando le trasformazioni di Lorentz si verifica che l’intervallo spazio temporale rimane invariato e dunque:

(Δs')2 =(Δs)2

L’intervallo spazio temporale fu introdotto dal fisico Minkowski, che era stato insegnante di Einstein; anche se esso è espresso elevato al quadrato può essere negativo, positivo o nullo in quanto non siamo più confinati entro gli ambiti della geometria euclidea in cui le distanze posso essere positive o nulle bensì stiamo considerando uno spazio a 4 dimensioni.

Se (Δs)2 > 0 l’intervallo è di tipo tempo, ovvero tra i due eventi può esserci correlazione, un segnale emesso dall’evento 1 può arrivare all’evento 2 influenzandolo, questo perché la distanza spaziale Δl tra i due eventi è minore della distanza c∙Δt percorsa dalla luce nell’intervallo di tempo Δt che li separa.

Se (Δs)2 < 0 l’intervallo si dice di tipo spazio e rispetto al caso precedente questa volta la distanza spaziale Δl tra i due eventi è maggiore della distanza c∙Δt percorsa dalla luce nell’intervallo di tempo Δt che li separa dunque tra i due eventi non può sussistere alcuna correlazione di causa effetto.

Se (Δs)2 = 0 l’intervallo si dice di tipo luce e solo un segnale luminoso che parte dal primo evento raggiungendo il secondo può influenzarlo.

Lo spazio quadrimensionale

Mentre nello spazio euclideo  a 3 dimensioni a cui siamo tutti abituati l’invariante a qualsiasi cambiamento di sistema di riferimento è rappresentato dalla distanza al quadrato tra due punti espressa come:

d2 = Δx2 + Δy2 + Δz2

lo spazio – tempo, che rappresenta invece la struttura quadrimensionale di cui è composto l’universo, è caratterizzato dall’invarianza del quadrato dell’intervallo spazio temporale tra due eventi:

(Δs')2 =(Δs)2

con:

(Δs)2 = (c∙Δt)2 – (Δx)2 – (Δy)2 – (Δz)2

Poiché tutti gli eventi di uno spazio a 4 dimensioni sono individuati da 4 coordinate, 3 spaziali ed una temporale, si dovranno fissare 4 assi per rappresentare gli eventi.

Lo spazio tempo della relatività ristretta ha una geometria particolare che fu studiata proprio da Minkoswki che fornì anche la soluzione per la rappresentazione degli eventi nel cosiddetto diagramma di Minkowski.

L’intervallo invariante Δs in questo spazio quadrimensionale, rappresenta il modulo di un quadrivettore, cioè di un vettore a 4 componenti, in cui la prima componente è quella legata al tempo, convenientemente espressa come prodotto di c∙Δt in modo da restituire una coordinata ancora spaziale e quindi utilizzare la stessa unità di misura delle altre componenti, Δx, Δy e Δz.

Possiamo allora scrivere che:

(Δs)2 = (c∙Δt)2 - (Δx)2 - (Δy)2 - (Δz)2

Cioè il quadrato del modulo del quadrivettore è dato dal quadrato della componente temporale, espressa come c∙Δt, meno la somma dei quadrati delle componenti x, y e z.

Questa proprietà caratterizza lo spazio di Minkowski.

I diagrammi spazio-tempo di Minkowski

Il diagramma di Minkowski è una rappresentazione grafica in due dimensioni dello spazio-tempo in cui nell’asse orizzontale è riportata la coordinata x mentre nell’asse verticale è riportata la coordinata temporale c∙Δt.

Ogni punto del diagramma di Minkowsi rappresenta un evento dello spazio-tempo:

diagramma spazio-tempo di Minkowski

In figura l’evento segnato come un punto sul diagramma, corrisponde ad un ben preciso evento dello spazio tempo che avviene nella coordinata x* al tempo t*.

Ogni fenomeno è rappresentato sul diagramma di Minkowski da un insieme continuo di punti che formeranno una sequenza continua di eventi disegnata come una linea, la linea di universo.

Un oggetto fermo sarà rappresentato da una retta verticale caratterizzato da sempre la stessa coordinata x.

Un segnale luminoso che si muove alla velocità c, è rappresentato da una retta che passa per l’origine e questa retta avrà equazione:

c ∙ t = x

oppure:

c ∙ t = - x

a seconda che il raggio di luce si propaghi nel verso positivo o negativo dell’asse delle x. Tale retta è la bisettrice del primo e terzo quadrante (o del secondo e quarto nel caso c ∙ t = - x).

Un oggetto che si muove a velocità v (ovviamente v < c) e passa per l’origine dei tempi e della coordinata x sarà invece rappresentato da una retta con pendenza superiore alla bisettrice e quindi più inclinata verso l’asse c∙t.

diagramma spazio-tempo

Il cono di luce

Le due linee di universo che rappresentano la propagazione dei un raggio di luce dividono il diagramma spazio-tempo in due regioni dette coni, rispettivamente cono di luce futuro e cono di luce passato.

In effetti tridimensionalmente queste regioni triangolari sono proprio dei coni ecco il perché di questi nomi:

cono di luce futuro e passato

Tutti i punti che si trovano in uno stesso cono sono eventi casualmente connessi, cioè eventi per cui il quadrato dell’intervallo spazio temporale risulta positivo (Δs)2 > 0.

Allora i due eventi saranno separati da un intervallo di tipo tempo, ovvero tra i due eventi può esserci correlazione, un segnale emesso dall’evento 1 può arrivare all’evento 2 influenzandolo, questo perché la distanza spaziale Δl tra i due eventi è minore della distanza c∙Δt percorsa dalla luce nell’intervallo di tempo Δt che li separa.

Mentre due eventi posti in coni diversi sono separati da intervalli di tipo spazio.
In realtà ogni evento dello spazio - tempo rappresenta il vertice di un cono di luce.

Tale cono è delimitato dalle linee di universo che giungono nell’evento che ha coordinata x0 al tempo t0.

Le due linee di universo ovviamente rappresentano le linee dei segnali luminosi e quindi saranno rette che non passano per l’origine ma risultano parallele alle due bisettrici dei quadranti:

cono di luce

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