chimica-online.it

Esercizio su diagramma spazio tempo

Esercizio svolto e commentato su diagramma spazio tempo

Vi sono due gemelli di nome Mario e Giovanni.

Mario parte con la sua astronave dalla Terra mantenendo una velocità costante pari a 2/3∙c e rimane in viaggio 6,0 anni secondo la Terra.

Una volta passati i 6 anni, Mario rimane su di una stazione orbitale ferma rispetto alla Terra per 2 anni e riparte dunque indietro a velocità c/2.

Il suo gemello Giovanni nel frattempo è rimasto fermo a Terra.

Rappresentare in un diagramma spazio-tempo il viaggio di Mario e determinare quanto tempo è passato tra il viaggio di partenza e quello di ritorno di Mario sulla Terra.

Al suo ritorno quale sarà la differenza di età tra i due gemelli?

Svolgimento dell'esercizio

Fissiamo i tre eventi sul diagramma spazio tempo di Minkowski.

Innanzitutto l’evento O sarà il momento iniziale della partenza di Mario, ovvero il qui e ora per entrambi gli osservatori che si trovano in x= 0 m al tempo t = 0 s.

L’evento A sarà dato dal raggiungimento di Mario della stazione dopo 6 anni (tempo misurato dal gemello rimasto fermo a Terra); l’evento B sarà il momento in cui Mario torna verso la Terra ed infine il punto C sarà l’arrivo a casa.

Il punto O avrà ovviamente coordinate (0;0).

Il punto A avrà coordinata temporale pari a 6 anni mentre per il calcolo della coordinata spaziale consideriamo che Mario viaggia per 6 anni a velocità pari a 2/3∙c quindi:

xA = v ∙ Δt = 2/3 ∙c ∙ 6 = 4 anni luce

La retta OA avrà inclinazione maggiore alla bisettrice primo-terzo quadrante, rappresentando la linea di universo del viaggio di andata.
A(4;6)

Il punto B avrà coordinata spaziale uguale a A (Mario rimane fermo rispetto a Terra) ma saranno passati due anni, dunque la sua coordinata spaziale sarà pari a  6 + 2 = 8 anni
B (4; 8)

Il punto C sarà sull’asse c∙t in quanto Mario ritorna al punto x=0, avendo viaggiato a c/2 allora sarà passato un tempo rispetto alla Terra pari a:
Δt = 4 anni luce / (c/2) = 8 anni (che si sommano agli 8 anni già trascorsi).

La retta BC avrà coefficiente angolare negativo in quanto Mario si sta muovendo verso la direzione negativa dell’asse x tornando indietro. Cioè si starà muovendo a velocità -c/2 rispetto alla Terra. Allora le coordinate di C saranno:
C(0; 16)

Il diagramma sarà dunque (l’unità di misura dei due assi è l’anno luce):

Esercizio su diagramma spazio tempo

Dunque Mario ritorna sulla Terra dopo 16 anni dalla sua partenza (tempo misurato dal gemello rimasto fermo).

Durante il viaggio di andata (OA) tuttavia il tempo proprio percepito a bordo da Mario sappiamo per gli effetti relativistici essere inferiore a quello misurato da Giovanni e pari a 6 anni.

In particolare detti Δt’ = 6 e Δt il tempo proprio avremo che:

Esercizio su diagramma spazio tempo tempo proprio

Il tempo proprio sarà allora pari a (v = 2/3 ∙ c):

tempo proprio esercizio

Dunque già Mario sarà più giovane di 1,5 anni rispetto ai 6 trascorsi per Giovanni.

Durante il viaggio di ritorno, durato per Giovanni 8 anni, per Mario saranno invece trascorsi (v = c/2):

Dunque la differenza di età sarà adesso pari a 8 -6,9 = 1,1 anni. In totale Mario sarà più giovane rispetto a Giovanni di 2,6 anni.

Ti lasciamo infine con alcuni link che ti potrebbero interessare:

Esercizio svolto e commentato su effetto Doppler relativistico

Esercizio svolto e commentato sul diagramma di Minkowski

Esercizio svolto e commentato sull'esperimento di Michelson

Che cos'è l'effetto Doppler?

Studia con noi