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Numero di Mach

Che cos'è e cosa rappresenta il numero di Mach?

Il numero di Mach è un numero puro adimensionale definito come il rapporto tra la velocità di un corpo che si sta muovendo all’interno di un fluido e la velocità di propagazione del suono all’interno del fluido stesso.

In formule:

M = v / c

in cui:

  • M è il numero di Mach;
  • v è la velocità del corpo all’interno del fluido;
  • c è la velocità del suono nel fluido.

Velocità di un'onda sonora all'interno di un fluido

Consideriamo come fluido un gas perfetto. La velocità del suono all’interno di un gas perfetto, tenendo conto dell’equazione di stato dei gas perfetti, dipende unicamente dalla temperatura del gas espressa in grado Kelvin:

formula della velocità del suono in un gas perfetto

in cui:

Per un gas reale in realtà la velocità del suono dipende anche dalla pressione, ma il modello dei gas perfetti spiega molto bene l’evidenza dei fenomeni reali.

Pertanto il numero di Mach è calcolabile come:

formula del numero di Mach

Un altro modo per determinare la velocità del suono attraverso un fluido è quello di considerare il modulo di compressibilità K del gas perfetto che esprime l’aumento della densità del fluido a seguito di una compressione cioè dell’applicazione di una pressione P.

Il modulo di compressibilità per un gas ideale è dato dal prodotto del coefficiente di dilatazione adiabatica per la pressione applicata:

K = γ · P

Dunque in questi termini la velocità del suono c all’interno del fluido diventa pari a:

velocità del suono attraverso un fluido

Dall’equazione di stato dei gas perfetti P∙V = n∙R∙T il rapporto R∙T/P rappresenta il numero di moli fratto il volume cioè la densità di massa ρ del fluido.

Dunque avremo:

formula finale c

Significato del numero di Mach

L’utilizzo principale del numero di Mach avviene nella fluidodinamica quando bisogna conoscere come si comportano le molecole del fluido al passaggio di oggetti ad alta velocità come ad esempio un aereo o un razzo.

In particolare a seconda di come si comprimono le molecole al passaggio del corpo in movimento, il numero di Mach assumerà valori pari a:

M << 1 regime incomprimibile

M < 1 regime subsonico

M = 1 regime sonico

M > 1 regime supersonico

M > 5 regime ipersonico

L’approssimazione di fluido incomprimibile è accettabile per valori del numero di Mach inferiori a 0,3.

Invece per altri valori della velocità non si possono non prendere in considerazione gli effetti causati dalla compressione del fluido al passaggio del corpo.

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Applicazione della formula del numero di Mach

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