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Equazione di stato dei gas perfetti

Spiegazione dell'equazione di stato dei gas perfetti

Le leggi sperimentali sui gas descrivono il comportamento dei gas in tutte quelle trasformazioni in cui una delle tre variabili di stato (temperatura, pressione, volume) viene mantenuta costante.

Dalla combinazione delle tre leggi sperimentali sui gas e del principio di Avogadro, E. Clapeyron ottenne l'equazione di stato dei gas perfetti detta anche legge universale dei gas.

L'equazione, che vale solo per gas ideali*, è la seguente:

equazione generale dei gas perfetti

in cui:

  • P = pressione
  • V = volume
  • n = numero moli
  • T = temperatura

R invece è una costante chiamata costante universale dei gas (o semplicemente costante dei gas) che può assumere diversi valori a seconda delle unità di misura utilizzate.

Misurando la pressione P in atmosfere, il volume V in litri e la temperatura T in Kelvin, risulta:

costante universale gas

Nel caso in cui la pressione P sia espressa in Pascal, il volume V in m3 e la temperatura T in Kelvin, si ha:

equazione gas ideali

* Ricordiamo che un gas ideale è un gas:

1) le cui particelle sono considerate masse puntiformi (hanno massa e sono prive di volume);

2) in cui le forze attrattive tra le particelle sono nulle (per cui ogni particella è indipendente dalle altre);

3) in cui gli urti tra le particelle del gas e tra le particelle del gas e le pareti del recipiente sono perfettamente elastici;

4) in cui l'energia cinetica media delle particelle è direttamente proporzionale alla temperatura assoluta.

Le formule inverse dell'equazione generale dei gas sono di seguito riportate:

Formula per il calcolo della pressione P:

P = (n · R · T) / V

Formula per il calcolo del volume V:

V = (n · R · T) / P

Formula per il calcolo del numero di moli n:

n = (P · V) / (R · T)

Formula per il calcolo della temperatura T:

T = (P · V) / (n · R)

Spiegazione dell'equazione

Si consideri una mole di un qualsiasi gas e due isoterme alle temperature 0°C e t°C.

Il gas si trovi inizialmente alla pressione P0 e al volume V0. Sottoponiamo il gas a due trasformazioni:

1) trasformazione isobara (trasformazione a pressione costante, trasformazione A → B) per la quale vale: Vt = V0 · (1 + α·t)

2) trasformazione isoterma (trasformazione a temperatura costante, trasformazione B → C) per la quale vale: P · V = P0 · Vt

isoterme

Sostituendo nella seconda equazione (P · V = P0 · Vt) il termine Vt ricavato dalla prima equazione, si ha:

P · V = P0 ·V0 · (1 + α·t)

Ricordando che α = 1/273, l'equazione precedente si può anche scrivere nel seguente modo:

clapeyron

e quindi:

clapeyron

in cui T = 273 + t ed esprime la temperatura in Kelvin.

P0 e V0 sono rispettivamente la pressione e il volume a 0°C.

Per la legge di Boyle, il loro prodotto è una costante e quindi anche il fattore

gas fattore costante

è un valore costante.

Se poniamo P0 = 1 atm e ricordiamo che 1 mole di qualsiasi gas alla temperatura di 0°C e alla pressione di 1 atm occupa un volume di 22,414 L allora sarà V0 = 22,414 L.

Sostituendo tutti i dati nel fattore

gas fattore costante

si ha:

costante universale dei gas

termine noto come costante universale dei gas.

Per una mole di gas, l'equazione generale dei gas diventa:

equazione generale dei gas per 1 mole di gas

Per n moli di gas, il volume V0 (a P = 1 atm e t = 0°C) non sarà 22,414 L ma n volte tale valore.

Per n moli di gas, l'equazione generale dei gas pertanto diventa:

equazione generale dei gas perfetti

Riassunto sull'equazione di stato dei gas

1) Se ad una massa di gas applichiamo separatamente la legge di Boyle, la legge di Charles e il principio di Avogadro, è possibile dedurre una equazione valida unicamente per i gas ideali detta appunto equazione di stato dei gas ideali.

2) L'equazione generale dei gas perfetti mette in relazione la pressione P, il volume V, il numero di moli n e la temperatura T con una costante R nota come costante universale dei gas secondo la reazione: P · V = n · R · T.

3) A seconda delle unità di misura adottate per esprimere P, V e T, R può assumere due valori diversi: 0,0821 (L·atm)/(mol·K) oppure 8,314 J/(mol·k).

Esercizio #1

Si determini il volume occupato ad 0,2 moli di un gas perfetto alla temperatura di 27°C e sotto la pressione di 10 atm.

Svolgimento

Per applicare l'equazione di stato dei gas perfetti P · V = n · R · T dobbiamo trasformare la temperatura in kelvin:

27°C = 300 K

Ricordando che:

V = (n · R · T) / P

si ha:

V = (0,2 · 0,0821 · 300) / 10 = 0,49 L

Pertanto il volume occupato dal gas è di 0,49 litri.

Esercizio #2

Alla temperatura di 25°C e alla pressione di 770 torr, un grammo di una sostanza pura occupa il volume di 919 mL.

Calcolare il peso molecolare della sostanza supponendo che si comporti come un gas ideale.

Svolgimento dell'esercizio

Per applicare l'equazione di stato dei gas perfetti P · V = n · R · T dobbiamo trasformare la pressione in atmosfere, il volume in litri e la temperatura in kelvin:

770 torr = 1,013 atm (per info: torr in atm)

919 mL = 0,919 L

25°C = 298 K

Applichiamo la formula inversa dell'equazione di stata dei gas perfetti e ricaviamo il numero di moli n:

n = (P · V) / (R · T)

Sostituendo in modo opportuno i dati a nostra disposizione, si ha che:

n = (1,013 · 0,919) / (0,0821 · 298) = 0,038 mol

Ricordando infine che:

n = g / MM

si ha che:

MM = g / n = 1 / 0,038 = 26,3 uma

Pertanto il peso molecolare della sostanza è di 26,3 u.

Esercizio #3

Una data massa di gas ideale si trova alla temperatura di 27°C, alla pressione di 10 atm e occupa il volume di 10 litri.

A quale temperatura bisogna portare il gas affinchè alla pressione di 8 atm occupi il volume di 5 litri?

Svolgimento

Convertiamo inizialmente la temperatura iniziale del gas: 27°C = 300 K.

Applicando separatamente allo stato iniziale (1) e allo stato finale (2) del gas l'equazione generale dei gas perfetti, si ha che:

P1 · V1 = n · R · T1

P2 · V2 = n · R · T2

Il numero di moli n è infatti uguale in entrambi gli stati.

Dividendo membro a membro le due equazioni otteniamo che:

(P1 · V1) / (P2 · V2) = T1/ T2

Da cui ricaviamo l'incognita T2:

T2 = (P2 · V2 · T1) / (P1 · V1)

Sostituendo i dati a nostra disposizione, si ha infine che:

T2 = (8 · 5 · 300) / (10 · 10) = 120K

Che corrispondono a: 120 - 373 = - 153°C

Esercizi sui gas

Li trovi online e svolti al seguente link: esercizi sui gas.

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Come viene modificata l'equzione di stato per un gas ideale?

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