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Equazione di continuità

Spiegazione della equazione di continuità

Prima di affrontare lo studio dell'equazione di continuità, facciamo un breve ripasso sulla definizione di portata di un fluido.

Si definisce portata Q di un fluido, il volume che attraversa la sezione di un condotto nell’unità di tempo.

L’unità di misura della portata è il m3/s.

Possiamo dunque esprime la portata come:

Q = volume / tempo

Ma il volume di fluido non sarà altro che la sezione A del conduttore per lo spostamento orizzontale d del fluido lungo il condotto.

Se il fluido si muove a velocità costante v allora tale spostamento sarà pari al prodotto della velocità v per il tempo t:

portata di un fluido

Il processo è rappresentato nella figura qui di seguito:

rappresentazione della portata di un fluido

Dunque la portata di un fluido è il prodotto della sezione del conduttore per la velocità di scorrimento del fluido.

Equazione di continuità

Consideriamo un fluido incomprimibile che scorre in un condotto a sezione variabile.

Per la legge di conservazione della massa, la quantità di fluido che entra nel condotto deve essere uguale alla quantità di fluido che ne esce.

Di conseguenza anche il volume entrante sarà pari a quello uscente mantenendo costante la portata.

rappresentazione dell'equazione di continuità

Allora possiamo scrivere che la portata che si rileva nel punto 1 del condotto sarà uguale alla portata nel punto 2:

Q1 = Q2

Ovvero:

A1 ∙ v1 = A2 ∙ v2

in cui A1 e A2 sono rispettivamente le due sezioni del condotto.

Tale equazione rappresenta la formulazione matematica dell'equazione di continuità.

La precedente relazione può essere riscritta come:

v2 / v1 = A1 / A2

cioè le velocità assunte dal fluido nelle due sezioni del conduttore sono inversamente proporzionali alle sezioni del condotto.

Un esempio di applicazione dell'equazione di continuità in natura

Consideriamo il vento che deve attraversare una zona in cui è presente un massiccio roccioso.

Possiamo considerare con buona approssimazione l’aria come un fluido la cui portata si mantiene costante a causa delle condizioni di pressione e temperatura.

Per cui possiamo vedere il fluire del vento come se avvenisse dentro ad un condotto.

Nel momento in cui il vento giunge alla montagna avrà una certa velocità.

Nel momento in cui il passaggio si restringe a causa della sommità, allora le linee di flusso del vento si ammasseranno generando un aumento della velocità dell’aria.

Ecco come si spiega il fenomeno della presenza di vento in cima ad una montagna anche quando a valle questo risulta impercettibile.

Applicazione dell'equazione di continuità

Su questa fenomeno si basa anche il fatto che i generatori di energia elettrica che funzionano a turbine eoliche sono sempre posti in località montane sul punto più alto che risulterà anche il più ventoso.

Esercizio #1

In un condotto scorrono 7,2 m3 di acqua all’ora alla velocità costante di 1 m/s.

Determinare la sezione del condotto sapendo che essa si mantiene costante lungo tutta la conduttura.

Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: calcolo della sezione di un condotto.

Esercizio #2

Un tubo per innaffiare ha un diametro interno di 2 cm e in esso scorre acqua alla velocità di 1 m/s.

Nella parte finale del tubo in cui l’acqua esce fuori, sono presenti 24 fori a sezione circolare ognuno dei quali ha un diametro di 1,2 mm.

Determinare la velocità di fuoriuscita dell’acqua dal tubo.

Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: condotto a sezione variabile.

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