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Equazione di Bernoulli

Enunciato e spiegazione della equazione di Bernoulli

Il teorema di Bernoulli o legge di Bernoulli riguarda tutti i fluidi ideali, privi di attrito interno ed incomprimibili, che si muovono in moto stazionario (ovvero un moto in cui tutti i punti del fluido presenti in una sezione del condotto si muovono alla stessa velocità anche se questa può cambiare in punti invece diversi del condotto).

Tale legge afferma che la somma di questi tre contributi:

  • pressione del fluido P
  • prodotto tra la sua densità per l’accelerazione di gravità e per la quota ρ∙g∙h
  • metà del prodotto della densità del fluido per la velocità al quadrato ½ ∙ρ∙v2

si mantiene costante lungo tutto il percorso del condotto.

Pertanto:

P + ρ ∙ g ∙ h + ½ ∙ ρ ∙ v2 = costante

La legge di Bernoulli deriva direttamente dal principio di conservazione dell’energia e si dimostra applicando il teorema dell’energia cinetica tra due punti diversi del condotto.

Casi particolari dell'equazione di Bernoulli

La legge di Bernoulli assume due formulazioni più semplici nel caso di quota costante e nel caso di velocità nulla.

Nel primo caso in cui la quota si mantiene costante, allora h1 = h2 per cui la legge si riduce a:

P + ½ ∙ ρ ∙ v2 = costante

Ciò vuol dire che se la velocità aumenta, affinché la somma due addendi P e ½ ∙ ρ ∙ v2 possa mantenersi costante allora la pressione dovrà necessariamente diminuire.

Ora sappiamo che per l’equazione di continuità la velocità può aumentare se esiste una strozzatura lungo il condotto che fa diminuire la sezione di scorrimento.

In prima istanza si potrebbe pensare che la pressione in tale strozzatura aumenti, invece essa diminuisce come diretta conseguenza della legge di Bernoulli.

Se invece consideriamo il caso idrostatico (v = 0) allora ci si riconduce alla legge di Stevino.

Infatti la legge di Bernoulli si riduce a:

P + ρ ∙ g ∙ h = costante

Considerando un recipiente di altezza h e la pressione sulla faccia superiore (h) ovvero pari alla pressione atmosferica Po e la pressione P del fluido sulla base inferiore (h = 0) possiamo scrivere:

P1 = Po ; h1 = h; v1 =0

P2 = P; h2 = 0; v2 =0

Per cui:

P = Po + ρ ∙ g ∙ h

spiegazione della legge di stevino

Un altro caso particolare dell'equazione di Bernoulli è il teorema di Torricelli.

Esercizio

Una siringa contenente dell’acqua e sprovvista di ago è posta in posizione orizzontale.

Sapendo che il rapporto tra la sezione interna della siringa e quella del foro di uscita è pari a 20, determinare la pressione da applicare al pistone affinché l’acqua fuoriesca con velocità costante pari a 15 cm/s (centimetri al secondo).

Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: pressione da applicare al pistone di una siringa.

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