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Massima potenza dissipata da una resistenza

Massima potenza dissipata da una resistenza collegata in serie ad un'altra

Una resistenza variabile R è collegata a un generatore reale di tensione dotato di resistenza interna che eroga una tensione V.

Determinare per quale valore di R la potenza dissipata su questa resistenza è massima.

Svolgimento dell'esercizio

L'esercizio propone il caso di una resistenza variabile R collegata a un generatore reale di tensione dotato di resistenza interna che eroga una tensione V.

Il problema chiede di calcolare per quale valore di R la potenza dissipata per effetto Joule su questa resistenza è massima.

Generatore di tensione reale

La corrente che circola nel circuito considerando che R e r sono in serie vale:

i = V / Rtot = V / (r + R)

La potenza dissipata sulla resistenza R in funzione di R stesso dunque vale:

P(R) = R ∙ i2 = R ∙ V2 / (r + R)2

Questa è una funzione che esprima la potenza in funzione della resistenza R. Le costanti sono V ed r.

Per calcolare il massimo di una funzione calcoliamone la derivata prima:

Per trovare il massimo della funzione bisogna studiare il segno della sua derivata prima.

Nell’espressione della derivata l’unico elemento determinante ai fini del segno è il termini (r-R); infatti V2 è un termine sempre positivo così come (r+R)  e dunque non influenti a livello di segno.

Poniamo maggiore di zero la derivata prima

P'(R) > 0

r – R > 0

R < r

Ricordandoci del vincolo che R essendo una grandezza relativa alla resistenza può solo assumere valori positivi:

grafico derivata prima potenza dissipata

La derivata prima è positiva quando R < r e quindi la funzione P è crescente in tale intervallo, configurando un massimo quando R = r.

Quindi quando la resistenza esterna R è uguale alla resistenza interna r del generatore si ottiene il massimo trasferimento di potenza sulla resistenza esterna.

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