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Esercizio sulla circuitazione del campo elettrico

Esercizio sul calcolo della circuitazione del campo elettrico

Si consideri il campo elettrico generato nel vuoto da una carica puntiforme q di valore 2∙10-8 C e posta nel punto O in figura. Il punto A e il punto B distano 6 m dal centro, mentre i punti D e C distano 8 m.

Si calcoli la circuitazione del campo elettrico lungo il percorso chiuso orientato ABCD.

Svolgimento dell'esercizio

Il problema chiede di calcolare la circuitazione del campo elettrico generato dalla carica q lungo la linea chiusa orientata ABCD. Sappiamo già a priori che tale circuitazione varrà zero, in quanto trattasi di campo conservativo ed una qualsiasi circuitazione di un campo conservativo è nullo.

Calcoliamo comunque la circuitazione lungo il percorso dimostrando questo risultato.

Esercizio sulla circuitazione del campo elettrico


Possiamo suddividere il percorso in 4 parti: AB, BC, CD e DA. Calcoliamo il prodotto scalare tra campo elettrico e vettore spostamento relativo ad ogni tratto.

Ricordiamo che il modulo di un prodotto scalare è pari al prodotto del modulo dei due vettori per il coseno dell’angolo tra essi compresi.

Il campo elettrico generato dalla carica positiva posta in O è di forma radiale e di verso uscente dalla carica verso l’infinito.

Campo elettrico di forma radiale

Ora nei tratti AB e CD il vettore campo elettrico risulta perpendicolare in ogni punto al vettore spostamento. Dunque in questi due tratti i due contribuiti alla circuitazione valgono zero.

Nel tratto BC il vettore campo elettrico ed il vettore spostamento sono paralleli (α=0) dunque il loro prodotto scalare è non nullo.

Per calcolare la somma di tutti i prodotti vettoriali tra il vettore campo elettrico che varia man mano che dal punto B si ci sposta al punto C con il vettore spostamento infinitesimo si può agevolmente ricorrere al calcolo integrale. Se non si ha praticità ancora con questo strumento viene fornita anche un’altra risoluzione.

Utilizzando il calcolo integrale sappiamo che la somma di tali prodotti vettoriali tra campo e vettore spostamento infinitesimo dr è pari a:

prodotti vettoriali tra campo e vettore spostamento

Senza utilizzare il calcolo integrale si può interpretare il risultato come variazione del prodotto scalare tra campo elettrico nella posizione iniziale e quella finale per il rispettivo vettore spostamento:

variazione del prodotto scalare tra campo elettrico nella posizione iniziale e quella finale per il rispettivo vettore spostamento

I tratti BC e DA dunque forniscono dei contributi alla circuitazione diversi da zero, uguali ma tra di loro opposti, in quanto nel primo caso il vettore campo elettrico ha lo stesso verso dello spostamento mentre nel secondo caso ha verso opposto. Dunque il contributo alla circuitazione lungo DA vale -7,5V.

Il conclusione la circuitazione del campo elettrico lungo la linea chiusa orientata ABCD vale: CABCD(E) = 0 + 7,5 + 0 - 7,5 = 0.

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