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Calcolo della potenza dissipata

Esercizio sul calcolo della potenza dissipata

Una stufa elettrica è realizzata mediante una resistenza metallica costituita da una lega di nichel-cromo caratterizzata da un coefficiente termico α = 4 · 10-4 °C-1.

La potenza dissipata dalla stufa quando raggiunge un temperatura di 800 °C è 500 W e la tensione applicata è di 200 V.

Successivamente la stufa viene regolata tramite un termostato e raggiunge una temperatura di 200°C.

Calcolare la potenza dissipata a 200°C e le correnti che circolano nella resistenza nei due casi.

Svolgimento

Siamo in presenza di una resistenza che opera a due diverse temperature.

Come sappiamo la resistività nella maggioranza dei conduttori metallici è una funzione crescente della temperatura secondo la legge:

ρ = ρ20 · (1 + α · ΔT)

in cui

ΔT = T - 20 è l'intervallo di temperatura tra quella di riferimento (temperatura ambiente a 20°C e la temperatura T che si sta considerando)

ρ20 è la resistività misurata a 20°C

α è il coefficiente termico.

Ora sappiamo che:

α = 4 · 10-4 °C-1

T1 = 800 °C

T2 = 200 °C

V = 200 V

P1 = 500 W

Il problema chiede di calcolare la potenza dissipata P2.

Dette L ed S la lunghezza e la sezione del conduttore, sappiamo che:

R1 = ρ1 · L/S

ed il coefficiente di resistività a 800°C vale:

ρ1 = ρ20 · (1 + α · (800-20)) = ρ20 · (1 + α · 780)

Inoltre sappiamo che il coefficiente di resistività a 200°C è dato da:

ρ2 = ρ20 · (1 + α · (200 - 20)) = ρ20 · (1 + α · 180)

mentre R2, la resistenza della stufa in corrispondenza dei 200°C con sezione e lunghezza invariati, è data da:

R2 = ρ2 · L/S

Poiché la tensione sarà rimasta la stessa prima e dopo possiamo scrivere che:

V1 = V2

V12 = V22

E ricordando che la potenza dissipata da un resistore è pari a:

P = V · i

Combinandola con la prima legge di Ohm otteniamo

P = V2/R

e da questa

V2 = P · R

Allora

P1 · R1 = P2 · R2

E dunque la potenza P2 sarà

P2 = P1 · R1/R2 = P1 · R1/R2 = 500 · (ρ1 · L/S) / ( ρ2 · L/S)

Semplifichiamo il termine L/S:

P2 = 500 · ρ12 = 500 · [ρ20 · (1 + α · 780) ] / [ρ20 · (1 + α · 180)]

Semplificando ρ20:

P2 = 500 · (1 + α · 780) ] / [ (1 + α · 180)]

Sostituendo i dati in nostro possesso:

P2 = 500 · (1 + 4 · 10-4 · 780) ] / [ (1 + 4 · 10-4 · 180)] = 612 W.

Quindi la potenza dissipata nella seconda situazione è pari a 612 W.

Calcoliamo infine le correnti i1 e i2 che circolano nel circuito alle due temperature.

Avremo che:

i1 = P1/V1 = 500/200 = 2,5 A

i2 = P2/V2 = 612/200 = 3,06 A

La corrente che circolerà nel circuito a 800°C è di intensità pari a 2,5 A, mentre quella che circolerà a 200°C è di 3,06 A.

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Qual è la formula della resistenza?

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