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Collegamento in serie di due condensatori

Esercizio sul collegamento in serie di due condensatori

Due condensatori di capacità 6 μF e 3 μF sono connessi in serie ad una generatore di tensione da 500 V.

Calcolare la carica di ciascun condensatore, la ddp di ognuno di essi e l'energia immagazzinata singolarmente da ciascuna capacità.

Svolgimento

Il problema presenta il caso di due condensatori connessi tra di loro in serie e a loro volta collegati ad un generatore di tensione che fornisce una ddp complessiva pari a V.

I dati forniti sono i seguenti:

C1 = 6 μF = 6 · 10-6 F

C2 = 3 μF = 3 · 10-6 F

V = 500 V

Il circuito può essere schematizzato così:

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Quando due o più condensatori sono disposti in serie essi avranno la stessa carica depositata sulle armature per cui:

Q1 = Q2

Tale carica coincide con quella che avrebbe l'unico condensatore con capacità equivalente al sistema dato.

Sappiamo che con connessioni di due condensatori in serie la capacità equivalente Ceq è data da:

1/Ceq = 1/C1 + 1/C2 = 1/6 + 1/3 = 1/2

Per cui

Ceq = 2 μF

Ora che abbiamo semplificato il circuito ad un condensatore con capacità pari a quella della capacità equivalente e al generatore di tensione, possiamo applicare la relazione:

Ceq = Q/V

da cui ricavare la carica:

Q = Ceq · V = 2 · 10-6 · 500 = 10-3 C = 1 mC

Dunque la carica che si deposita su ciascuna armatura è pari a 1 mC:

Q1 = Q2 = 1 mC

Per calcolare la ddp ai capi di ciascun condensatore sfruttiamo la relazione:

C = Q/V

da cui:

V1 = Q1/C1 = 10-3 / (6 · 10-6) = 167 V

E poichè la somma delle tensioni ai capi dei due condensatori deve essere pari a quella fornita all'intero sistema:

V = V1 + V2

allora

V2 = V - V1 = 500 - 167 = 333 V

Verifichiamo tale dato applicando la definizione di capacità:

V2 = Q2/C2 = 10-3 / (3 · 10-6) = 333 V

come volevasi dimostrare.

Infine calcoliamo l'energia immagazzinata singolarmente da ciascuna capacità che è pari a:

E = ½ · Q · V

Dunque avremo:

E1 = ½ · Q1 · V1 = 0,5 · 10-3 · 167 = 8,3 · 10-2 J

E2 = ½ · Q2 · V2 = 0,5 · 10-3 · 333 = 16,7 · 10-2 J

In definitiva le risposte alle richieste del problema sono le seguenti:

  • la carica che si deposita su ciascuna armatura è pari a 1 mC : Q1 = Q2 = 1 mC
  • le tensioni ai capi dei due condensatori sono pari a 167 V e 333 V
  • l'energia immagazzinata singolarmente da ciascuna capacità è pari a 8,3 · 10-2 J e 16,7 · 10-2 J.

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