Formula e dimostrazione della terza legge di Keplero
Enunciato, formula e dimostrazione della terza legge di Keplero
Ai tempi di Keplero, a cavallo tra il XVI e il XVII secolo, erano noti i dati relativi alle orbite di cinque pianeti: Mercurio, Venere, Marte, Giove e Saturno, gli unici conosciuti a quell'epoca.
Nella tabella seguente sono riportati i valori numerici dei periodi di rivoluzione espressi in anni (T) e delle distanze medie dal Sole (a) espresse in unità astronomiche (UA).
L'unità astronomica corrisponde alla distanza media tra la Terra e il Sole; si parla di distanza media in quanto l'orbita della Terra attorno al Sole non è circolare ma ellittica.
1 UA corrisponde a circa 150.000.000 km ovvero a 150 milioni di chilometri.
Periodi di rivoluzione (T) espressi in anni e distanze medie dal Sole (a) espresse in UA. I dati sono quelli noti nel XVII secolo.
I dati della seconda e terza colonna della tabella erano noti a Keplero. Egli intuì che tra tali dati esistono dei regolari relazioni matematiche, e precisamente che se per ciascun pianeta si divide il quadrato del periodo (T) per il cubo della distanza media (a) si ottiene sempre lo stesso valore.
Formula della terza legge di Keplero
Ciò può essere espresso con la seguente formula, che costituisce pertanto la formula della terza legge di Keplero:
T2 / a3 = costante = K
Il che è come dire che il quadrato del periodo è proporzionale al cubo del raggio medio dell'orbita (o, nel caso di un'ellisse, del suo semiasse maggiore), ovvero:
T2 = K · a3
Dimostrazione della terza legge di Keplero
Supponiamo di considerare l'orbita di un pianeta di massa m2 intorno al Sole di massa m1 considerandola circolare.
Detta a la distanza media dall'astro e T il periodo di rivoluzione del pianeta, se la massa dell'astro è molto più grande rispetto a quella del pianeta, possiamo procedere ad uguagliare tra di loro la forza di attrazione gravitazionale e la forza centripeta che agisce sul pianeta:
Fgravitazionale = Fcentripeta
Ovvero:
Ma la velocità tangenziale v in un moto circolare uniforme, così come abbiamo approssimato il moto del pianeta, è pari alla circonferenza (2·π·a) diviso il periodo T.
Elevando poi tutto al quadrato si ottiene che:
Riordinando i termini e operando le opportune semplificazioni otteniamo:
Ma nel secondo membro dell'equazione sono presenti solo valori costanti; pertanto risulta che, come si diceva poc'anzi, il rapporto T2 / a3 è anch'esso un valore costante.
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Esercizio svolto e commentato sulla terza legge di Keplero
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