Verifica del teorema di Tellegen
Esercizio che richiede la verifica del teorema di Tellegen
Verificare il teorema di Tellegen per il seguente circuito:
Il teorema di Tellegen afferma che la somma di tutte le potenze in ogni ramo del circuito è pari a zero:
ƩP = 0
Quindi la somma delle potenze erogate dai generatori sarà uguale a quella assorbita dagli utilizzatori:
ƩPgenerate = ƩPassorbite
La potenza assorbita da una resistenza elettrica R si calcola come prodotto della tensione di ramo per la corrente di ramo L-esimo o applicando la prima legge di Ohm come:
Segniamo versi delle correnti e delle tensioni scegliendo come verso positivo di percorrenza delle maglie quello orario. Chiamiamo 1, 2 e 3 le resistenze rispettivamente da 5, 23 e 7 ohm. E analogamente nomineremo le correnti che attraversano ciascun resistore.
Scriviamo la legge delle maglie per le due maglie che si possono visualizzare a sinistra e a destra:
ΔV1 – V1 – V3 = 0
e
V3 – V2 + ΔV2 = 0
Sostituendo i valori e ricordando che la caduta di tensione ai capi di una resistenza è il prodotto della resistenza per la corrente che circola in essa:
10 - 5 ∙ i1 - 7 ∙ i3 = 0
7 ∙ i3 - 23 ∙ i2 + 12 = 0
Infine scriviamo la legge dei nodi all'unico nodo indipendente (somma delle correnti entranti= somma delle correnti uscenti):
i1 = i2 + i3
Risolvendo perciò il sistema di tre equazioni nelle tre incognite i1, i2 ed i3 otteniamo:
i1 = 384/311 A = 1,234 A
i2 = 214/311 A = 0,688 A
i3 = 170/311 A = 0,546 A
Conosciamo adesso tutte le correnti che attraversano ciascuna resistenza e quindi possiamo calcolare le potenze assorbite da ciascuna di esse.
P1 = R1 ∙ i12 = 5 ∙ 1,2342 = 7,61 W
P2 = R2 ∙ i22 = 23 ∙ 0,6882 = 10,89 W
P3 = R3 ∙ i32 = 7 ∙ 0,5462 = 2,09 W
Le potenze erogate dai generatori varranno:
PΔV1 = 10 ∙ 1,234 = 12,34 W
PΔV2 = 12 ∙ 0,688 = 8,256 W
La potenza totale erogata sarà pari alla somma delle due potenze dei singoli generatori:
Pgen = 12,34 + 8,256 = 20,59 W
La potenza totale assorbita invece sarà pari alla somma delle singole potenze assorbite:
Pass = 7,61 + 10,89 + 2,09 = 20,59 W
Abbiamo allora verificato che
ƩPgenerate = ƩPassorbite
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