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Calcolo del diametro di un conduttore

Prima legge di Ohm e calcolo del diametro di un conduttore

Un conduttore di alluminio ha sezione quadrata con lato di 5,0 mm ed è lungo 2,0 metri.

Calcolare la resistenza tra gli estremi.

Quale deve essere il diametro di un filo di rame lungo 1,0 metro a sezione circolare se la sua resistenza è la medesima di quella dell'alluminio?

Si sappia che:

ρrame = 1,7 · 10-8 Ω · m

ρalluminio = 2,8 · 10-8 Ω · m

Svolgimento

La seconda legge di Ohm fornisce la formula per il calcolo della resistenza di un conduttore metallico in funzione delle sue caratteristiche fisiche.

Infatti la resistenza è una caratteristica propria del conduttore e dipende dalla lunghezza L del conduttore, dalla sua sezione S e dal coefficiente di resistività secondo la formula:

R = ρ · L/S

I dati che ci fornisce il problema sono relativi a due conduttori.

Il primo conduttore è di alluminio ed ha la forma di un prisma quadrangolare, mentre il secondo conduttore è un filo di rame a forma cilindrica.

Chiamando 1 il primo conduttore e 2 il secondo abbiamo che:

l = 5,0 mm = 5,0 · 10-3 m lato di base del primo conduttore a forma di prisma

L1 = 2,0 m

ρ1 = 2,8 · 10-8 Ω · m

L2 = 1,0 m

ρ2 = 1,7 · 10-8 Ω · m

La resistenza del primo conduttore vale dunque:

R1 = ρ1 · L1/S1 = 2,8 · 10-8 · 2,0 / (5,0 · 10-3)2 = 2,24 · 10-3 Ω

Per cui la resistenza agli estremi del primo conduttore vale 2,24 m Ω.

Ora dal testo del problema si deduce che le resistenze dei due conduttori sono le medesime:

R1 = R2

Dunque poichè

R2 = ρ2 · L2/S2

ricaviamo la sezione dalla formula inversa:

S2 = ρ2 · L2/ R2 = ρ2 · L2/ R1 = 1,7 · 10-8 · 1 / 2,24 · 10-3 = 0,76 · 10-5 m2

Poichè il conduttore ha la sezione circolare, ricordando che l'area di un cerchio si calcola come:

S = π · R2

in cui R è il raggio, questo risulta pari a:

111

Essendo il diametro il doppio del raggio, si ha che:

d = 2 · R = 2 · 1,6 · 10-3 = 3,2 · 10-3 m = 3,2 mm

Dunque il diametro del conduttore in questione è di 3,2 mm.

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