Esercizio sulla legge di Faraday-Neumann
Esercizio svolto sulla legge di Faraday-Neumann
Una barretta metallica di lunghezza pari a 1 m e massa 50 g è inserita attraverso due guide metalliche in un circuito, in cui è presente una resistenza R del valore pari a 5 Ω.
La barretta è posta in caduta libera ma si muove con velocità costante.
Perpendicolarmente al piano agisce un campo magnetico di intensità 0,5 T.
Calcolare la velocità con cui la barretta cade.
Svolgimento
I dati forniti dal problema sono:
L = 1 m
m = 50 g = 0,05 kg
R = 5 Ω
B = 0,5 T
Dal testo si evince cha la barretta è in caduta libera attraverso delle guide metalliche che la connettono ad una resistenza R.
Ora sappiamo che sulla barretta circolerà una corrente a causa della ddp indotta dal fatto che la barretta sta muovendosi verso il basso.
Per la legge di Faraday-Neumann infatti la variazione di flusso del campo magnetico provoca una corrente indotta. E se è presente una corrente, sarà anche presente appunto una tensione indotta ai capi del conduttore:
Ricordando che il flusso del campo magnetico è definito come:
Φ(B) = S · B · cosα
in cui
S è la superficie di cui si deve calcolare il flusso del campo
B è l'intensità del campo magnetico
α è l'angolo che la direzione di B forma con la direzione perpendicolare alla superficie,
si ha che:
Ora la superficie attraverso la quale calcolare il flusso è quella che la barretta crea col suo movimento verso il basso e dunque l'angolo tra la normale a questa superficie e il campo vale 0.
La superficie spazzata è il prodotto della lunghezza del conduttore per la distanza orizzontale d percorsa, per cui:
Ma il rapporto tra d e la variazione di tempo non rappresenta altro che la velocità con cui la barretta si sta muovendo all'interno del campo:
Per la legge prima legge di Ohm risulta
i = ∆V/R
da cui
i = B · L · v / R
Sulla barretta in caduta agirà una forza magnetica pari a:
Fm = i · B · L
formula che deriva direttamente dalla conoscenza della forza di Lorentz.
Per cui la forza agente sul filo, sostituendo il valore della corrente indotta, vale:
Fm = i · B · L = (B · L · v / R) · B · L = B2 · L2 · v / R
Il testo del problema fornisce inoltre un altro dato molto importante. La barretta sta cadendo apparentemente in caduta libera, sebbene viaggi ad una velocità costante. Ciò vuol dire che su di essa non agisce alcuna accelerazione.
Ma se:
a = 0
allora per la seconda equazione di Newton:
∑F = m · a = 0
Ovvero la somma vettoriale di tutte le forze che agiscono sulla barretta deve essere nulla.
Sulla barretta, oltre alla forza magnetica appena ricavata, agisce la forza peso rivolta verso il basso.
Poiché le due forze si annullano, allora devono essere uguali ma di verso contrario. Per cui:
Fm = Fp
B2 · L2 · v / R = m · g
Ricaviamo il valore della velocità v:
v = (m · g · R) / (B2 · L2) = ( 0,05 · 9,8 · 5) / (0,52 · 1) = 9,8 m/s
Dunque la velocità con cui scende la barretta è pari a 9,8 m/s.
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