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Esercizio su circuito RC

Esercizio svolto su circuito RC

Il funzionamento di una luce ad intermittenza è regolato da un circuito RC che ne determina l'intervallo di tempo occorrente tra circuito aperto e chiuso e quindi tra l'illuminarsi o meno della lampada.

Tale circuito RC è costituito da un resistore da 5,00 MΩ e da un condensatore da 2,50 μF, inizialmente scarico.

Il circuito viene così connesso ad una semplice batteria a 12 V.

Calcolare:

- la carica iniziale sul condensatore

- la corrente nel circuito dopo che è passato un periodo di tempo pari a τ

- dopo quanto tempo dalla connessione alla batteria, la ddp sul condensatore raggiunge il valore di 5,50 V.

Svolgimento

Il circuito presentato dal problema è di tipo RC, ovvero un circuito costituito da una resistenza R ed un condensatore di capacità C connessi in serie tra di loro e collegati ad un generatore di tensione:

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Nella figura sopra è stata riportata la situazione fisica.

All'inizio condensatore e resistenza non sono collegati al generatore di tensione.

Ad un certo momento si chiude il circuito e quindi inizia il processo di carica del circuito.

I dati sono i seguenti:

R = 5,00 MΩ = 5,00 · 106 Ω

C = 2,50 μF = 2,50 10-6 F

V0 = 12 V

Nel momento iniziale, cioè quanto t = 0 la carica sul condensatore è nulla, in quanto il circuito è aperto e non collegato ad alcun generatore.

Una volta chiuso il circuito, resistenza e condensatore risulteranno connessi alla batteria e tensione e corrente sono adesso elementi variabili nel tempo secondo le relazioni:

V(t) = V0 · (1 - e-t/τ)

i(t) = V0 /R · e-t/τ

in cui τ è detta costante di tempo e vale

τ = R · C

Dunque la corrente dopo che è trascorso un tempo pari a τ vale:

i(τ) = V0 /R · e-t/τ = V0 /R · e- τ /τ = V0 /R · e-1 = V0 /(e · R)

Sostituendo i dati in nostro possesso si ha che:

i(τ) = 12/ (2,718 · 5,00 · 106 ) = 0,9 μF

Infine ricaviamo quanto tempo è trascorso dopo che viene rilevata una ddp di 5,50 V sulle armature del condensatore.

Sappiamo che:

V(t) = V0 · (1 - e-t/τ) = 5,50

Ricaviamo t:

1 - e-t/τ = 5,50 / V0

e-t/τ = 1 - 5,50 / V0

- t/ τ = ln ( 1 - 5,50/ V0 )

t = - τ · ln ( 1 - 5,50/ V0 ) = - R · C · ln ( 1 - 5,50/ V0 )

Sostituendo i dati in nostro possesso si ha che:

t = - 5,00 · 106 · 2,50 10-6 · ln (1 - 5,50/12) = 7,66 s

Ricapitolando dunque:

  • la carica iniziale sul condensatore vale zero Q = 0
  • la corrente nel circuito dopo che è passato un periodo di tempo pari a τ è 0,9 μF
  • la ddp sul condensatore raggiunge il valore di 5,50 V dopo un periodo di tempo pari a 7,66 s.

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