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Esercizio sulla forza di Lorentz

Esercizio svolto sulla forza di Lorentz

Un fascio di elettroni con energia 12 Kev viene inserito in un tubo acceleratore di particelle.

Tale tubo è orientato in modo che la velocità degli elettroni è uscente da un piano perpendicolare in cui il vettore campo magnetico terrestre è orientato dal basso verso l’alto:

applicazione forza di Lorentz

Sapendo che la componente del campo magnetico terrestre vale 5,5 · 10-5 T determinare:

a) in quale direzione il fascio verrà deflesso

b) a quale accelerazione saranno soggetti gli elettroni

Svolgimento

Il problema rappresenta la seguente situazione fisica: un fascio di particelle cariche negativamente, elettroni, viene portata ad una certa energia E e quindi alla velocità v, in quanto l’energia assunta dagli elettroni ha solo componente cinetica.

La velocità è diretta come in figura, cioè perpendicolarmente rispetto al campo magnetico terrestre.

Il campo magnetico terrestre è tale per cui le linee di forza partono dal polo sud terrestre (nord magnetico) e si chiudono al polo nord terrestre (sud magnetico):

campo magnetico terrestre

La forza di Lorentz risultante si determina con la regola della mano destra, ponendo la direzione della velocità v del fascio nel pollice, la direzione del campo magnetico terrestre B nell’indice e la direzione risultante è quella della perpendicolare al piano in cui giacciono v e B mentre il verso è rivolto a est, in quanto l’elettrone che ha carica negativa, cambia il verso risultante.

Infatti la forza dovrebbe essere rivolta verso ovest (freccia rossa con F):

 

 

 

 

Come vediamo nell'immagine sopra, a sinistra abbiamo la vista della situazione fisica vista nel piano in cui la X dentro il cerchio sta a significare la linea di campo magnetico entrante; se pensiamo di ruotare tridimensionalmente il piano vediamo le linee di campo che stanno entrando nel foglio e la velocità di V rivolta verso l'alto.

La forza di Lorentz risultante si determina per la regola della mano destra, ponendo la v nel pollice, B nell'indice e la direzione risultante è quella della perpendicolare al piano in cui giacciono v e B mentre la direzione sarà verso destra, in quanto l'elettrone che ha carica negativa, cambia il verso risultante.

Infatti la forza dovrebbe essere rivolta verso ovest (freccia rossa con e)

immagine 317

Ma ricordando che la forza di Lorentz è il prodotto vettoriale di q, V e B:

forza di Lorenz

e che q < 0 (elettrone ha carica negativa) allora il risultato sarà specularmente opposto, ovvero la forza di Lorentz orientata verso Est:

318

Per determinare invece l'accelerazione a cui sono soggetti gli elettroni ricordiamo che:

a = F/m

in cui F è la forza di Lorentz mentre m è la massa degli elettroni.

I dati sono:

m = 9,1 ·10-31 Kg (massa dell'elettrone)

e = - 1,6 ·10-19 C (carica dell'elettrone)

E = 12 Kev = 12 · 1,6 ·10-16 J = 19,2 ·10-16 J

B = 5,5 ·10-5 T

α = 90° (velocità e campo sono perpendicolari)

L'energia di 12 Kev corrisponde principalmente ad energia cinetica K, per cui:

E = K = ½ · m · v2

Da cui

319

Il modulo della forza di Lorentz vale:

F = q · V · B · senα = 1,6 ·10-19 · 0,65 ·108 · 5,5 ·10-5 · sen90 = 5,71 · 10-16 N

Dunque l'accelerazione vale:

a = F/m = 5,71 · 10-16 / 9,1 ·10-31 = 6,27 · 1014 m/s2

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