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Esercizio su circuito RC

Esercizio su circuito RC costituito da una resistenza e un condensatore collegati in serie

Un circuito RC è costituito da una batteria che fornisce una ddp di 3,50 V collegata in serie a una resistenza da 2,40 kΩ e ad un condensatore di 12,4 μF.

Quanto tempo è necessario affinché il condensatore si carichi al 90% della sua capacità massima?

Per dimezzare la costante di tempo di questo circuito è necessario aggiungere un ulteriore condensatore Cx di capacità incognita in serie o in parallelo?

Determinare il valore di questa ulteriore capacità.

Svolgimento dell'esercizio

Circuito RC

Il circuito RC presentato dal problema è costituito da una resistenza elettrica e un condensatore collegati in serie a una batteria a tensione continua. I valori delle tre grandezze sono:

R= 2,40 kΩ = 2,40 ∙ 103 Ω

C = 12,4 μF = 12,4 ∙ 10-6 F

V = 3,50 V

Quando si chiude il circuito con il condensatore scarico quest’ultimo si carica man mano che la corrente porta carica sulle sue armature.

La carica nel condensatore varia secondo la legge:

Come varia la carica nel condensatore in un circuito RC

Per ricavare il tempo t per cui la carica Q accumulata nel condensatore vale il 90% della carica totale Q=C∙V impostiamo l’equazione:

Esercizio su circuito RC

Applichiamo il logaritmo in base naturale ad ambo i membri:

Se volessimo esprimere questo tempo in termini di costanti di tempo τ che è pari al prodotto di R per C:

Cioè il tempo per raggiungere il 90% di carica nel condensatore è pari a 2,3 volte la costante di tempo caratteristica del circuito.

Se volessimo dimezzare questa costante di tempo potendo variare solo il carico capacitivo del circuito allora dovremmo dimezzare la capacità totale del sistema, in particolare dovremmo dimezzare la capacità equivalente del condensatore.

Per far ciò basta aggiungere in serie un ulteriore condensatore di capacità C = 12,4 μF in serie al primo in modo che la capacità equivalente sia il reciproco della somma dei reciproci delle due capacità che essendo uguali viene uguali a metà capacità C.

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