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Disuguaglianza di Clausius
Che cos'è la disuguaglianza di Clausius?
Il teorema di Carnot stabilisce che qualunque macchina termica che operi tra due sorgenti alle temperature assolute T1 e T2 avrà come rendimento massimo il rendimento della macchina di Carnot, che opera idealmente secondo un ciclo reversibile, ed il cui rendimento vale:
ηmax = 1 + (Q1/Q2) = 1 - (T1/T2)
In cui Q1 e Q2 sono rispettivamente i calori ceduti ed assorbiti (in particolare essendo Q1 calore ceduto esso avrà segno negativo), mentre T1 e T2 sono le temperature della sorgente fredda e calda rispettivamente.
Per cui per qualsiasi macchina reversibile vale che:
1 + (Q1/Q2) = 1 - (T1/T2)
Q1/Q2 = - T1/T2
Q1/T1 = - Q2/T2
Ovvero:
(Q1/T1) + (Q2/T2) = 0
Questa relazione è una diretta conseguenza del teorema di Carnot.
Disuguaglianza di Clausius
Poiché secondo il teorema di Carnot il rendimento di qualsiasi macchina termica è sempre inferiore a quello della macchina ideale avremo che:
η < ηmax
Ovvero:
1 + (Q1/Q2) < 1 - (T1/T2)
E seguendo gli stessi passaggi di cui sopra si arriva alla disuguaglianza nota come disuguaglianza di Clausius:
(Q1/T1) + (Q2/T2) < 0
Ovvero la somma algebrica (cioè considerando i segni dei rispettivi addendi) dei rapporti tra le quantità di calore scambiate e le temperature delle rispettive sorgenti risulta negativo.
Infatti essendo la quantità Q2 < 0 questo vuol dire che il rapporto Q2/T2 è più grande del rapporto Q1/T1 e dunque la loro differenza è un numero negativo.
Tale disuguaglianza può essere anche estesa a macchine termiche che operano con n sorgenti di calore. Per esse si avrà sempre che:
se la macchina è irreversibile.
Se invece la macchina è reversibile allora la sommatoria di tutte queste quantità è nulla.
Esercizio
Una macchina termica che lavora seguendo il ciclo di Carnot, lavora tra due sorgenti poste a 400 K e a 300 K.
Sapendo che il gas assorbe una quantità di calore pari a 2093 J, determinare:
- Il lavoro utile compiuto
- Il calore ceduto dal gas alla sorgente fredda
Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: macchina termica che lavora seguendo il ciclo di Carnot.
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