Quarto proporzionale
Unicità del quarto proporzionale
Le proporzioni sono l'uguaglianza tra due rapporti (a : b = c : d), con b ≠ 0 e d ≠ 0 in cui a, b, c, d sono detti "termini della proporzione".
I termini di una proporzione sono pertanto quattro e possono essere suddivisi in termini medi e termini estremi:
- i termini medi, o semplicemente medi, sono quelli che stanno nel mezzo, cioè quelli più vicini al segno dell'uguale
- i termini estremi o semplicemente estremi, sono quelli più lontani dall'uguale.
Nella proporzione
a e d sono i termini estremi della proporzione mentre b e c sono i termini medi.
Le proporzioni sottostanno ad alcune proprietà fondamentali (per info: proprietà delle proporzioni):
- proprietà fondamentale;
- proprietà dell'invertire;
- proprietà del permutare;
- proprietà del comporre;
- proprietà dello scomporre;
- unicità del quarto proporzionale.
In questa lezione vedremo che cosa si intende per unicità del quarto proporzionale.
Che cosa si intende per unicità del quarto proporzionale?
L'unicità del quarto proporzionale, che è una delle proprietà fondamentale delle proporzioni, afferma che: dati tre termini di una proporzione esiste ed è unico il quarto proporzionale.
Ciò significa che, data una proporzione e noti tre termini di essa, allora è noto anche il quarto.
Per esempio, data la proporzione:
a : b = c : d
noti i termini a, b e c allora si ha che:
Come è possibile ricavarsi il quarto proporzionale?
Data la proporzione:
a : b = c : d
noti i termini a, b e c vogliamo ricavare d (che è il quarto proporzionale). Applicando la proprietà fondamentale, risulta che:
b · c = a · d
Infatti abbiamo eguagliato il prodotto dei medi (che nel nostro caso sono b e c) con il prodotto degli estremi (che nel nostro caso sono a e d).
La precedente equazione può essere scritta anche nel seguente modo:
a · d = b · c
A questo punto, per ricavare il termine d, non ci rimane altro che dividere entrambi i membri per il termine a:
Da cui, semplificando a al primo membro dell'equazione, è possibile ricavare il termine d:
Formule generali per ricavarsi il quarto proporzionale
Diamo di seguito le formule per ricavarsi il quarto proporzionale.
Se il quarto proporzionale è uno dei due termini medi puoi applicare la seguente formula:
Se il quarto proporzionale è uno dei due termini estremi puoi applicare la seguente formula:
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