Proprietà fondamentale delle proporzioni
Cosa afferma la proprietà fondamentale delle proporzioni?
Le proporzioni sono l'uguaglianza tra due rapporti (a : b = c : d), con b ≠ 0 e d ≠ 0 in cui a, b, c, d sono detti "termini della proporzione".
I termini di una proporzione sono pertanto quattro e possono essere suddivisi in:
- i termini medi, o semplicemente medi, sono quelli che stanno nel mezzo, cioè quelli più vicini al segno dell'uguale
- i termini estremi o semplicemente estremi, sono quelli più lontani dall'uguale;
Nella proporzione:
a e d sono i termini estremi della proporzione mentre b e c sono i termini medi.
Le proporzioni sottostanno ad alcune proprietà fondamentali (per info: proprietà delle proporzioni):
- proprietà fondamentale;
- proprietà dell'invertire;
- proprietà del permutare;
- proprietà del comporre;
- proprietà dello scomporre;
- unicità del quarto proporzionale.
In questa lezione vedremo cosa afferma la proprietà fondamentale delle proporzioni.
Cosa afferma la proprietà fondamentale delle proporzioni?
La proprietà fondamentale delle proporzioni afferma che: in ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
Ad esempio, applicando la proprietà fondamentale alla seguente proporzione:
a : b = c : d
si ha che:
b · c = a · d
Infatti abbiamo eguagliato il prodotto dei medi (che nel nostro caso sono b e c) con il prodotto degli estremi (che nel nostro caso sono a e d).
Se si pensa alla proporzione a : b = c : d come alla equivalente frazione:
la proprietà fondamentale delle proporzioni si riduce a moltiplicare la frazione in croce.
Utilità della proprietà fondamentale delle proporzioni
La proprietà fondamentale delle proporzioni risulta molto utile per il calcolo del termine incognito di una proporzione (quarto proporzionale).
Consideriamo ad esempio la seguente proporzione:
X : b = c : d
Per determinare il valore X dobbiamo inizialmente applicare la proprietà fondamentale delle proporzioni; la proporzione diventa un'equazione del tipo:
b · c = X · d
che può essere riscritta nel seguente modo:
X · d = b · c
A questo punto, per ricavare la X, non ci rimane altro che dividere entrambi i prodotti per d:
Da cui, semplificando d al primo membro dell'equazione, è possibile ricavare il termine incognito X:
Applicazione della proprietà fondamentale delle proporzioni
Consideriamo la seguente proporzione:
5 : 3 = X : 27
Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni si ha che:
3 · X = 5 · 27
Dividendo entrambi i membri per il valore 3 si ha che:
Semplificando il 3 al primo membro si ha infine che:
Link correlati:
Qual è e come si applica la formula della percentuale?
Che cos'è e come si calcola l'errore percentuale?
Studia con noi