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Variazione della quantità di moto

Calcolo della variazione della quantità di moto

Una pallina di massa 50 g colpisce terra con una velocità di modulo 5,00 m/s inclinata di 60° rispetto alla verticale perpendicolare al suolo e rimbalza con una velocità pari a quella iniziale con la stessa inclinazione.

Stabilire il valore della quantità di moto prima e dopo il rimbalzo e discutere sulla sua variazione.

Svolgimento dell'esercizio

Esercizio sulla variazione della quantità di moto

La quantità di moto è una grandezza data dal prodotto tra massa e velocità di un corpo (in grassetto le grandezze vettoriali):

Q = m ∙ v

Essendo una grandezza vettoriale essa sarà dotata di una componente x e di una componente y proprio come la velocità che nel nostro caso risulta inclinata di un angolo di 60° rispetto alla verticale.

Partiamo dalla velocità iniziale cioè il momento in cui la pallina si dirige verso il suolo.

Ricaviamo le componenti x e y della velocità scegliendo come riferimenti positivi l’asse x orientato verso destra e l’asse y verso l’alto.

Vx = V ∙ sen60 = 5∙ sen60 = 4,33 m/s

Vy = - V ∙ cos60 = - 5 ∙ cos60 = - 2,5 m/s

Per cui le due componenti x ed y della quantità di moto sono rispettivamente:

Qx = m∙ Vx  = 0,05 ∙ 4,33 = 0,22 Kg ∙ m/s

Qy = m∙ Vy  = -  0,05 ∙ 2,5 = - 0,13 Kg ∙ m/s

Si ricordi che l'unità di misura della quantità di moto è Kg ∙ m/s.

Il modulo della quantità di moto iniziale si può calcolare a partire dalle due componenti x ed y applicando il teorema di Pitagora:

Esercizio sulla quantità di moto

Occupiamoci adesso di ciò che accade dopo il rimbalzo.

Vx = V∙ sen60 = 5∙ sen60 = 4,33 m/s

Vy =  V∙ cos60 = 5 ∙ cos60 = 2,5 m/s

Per cui le due componenti x ed y della quantità di moto sono rispettivamente:

Qx = m∙ Vx  = 0,05 ∙ 4,33 = 0,22 Kg ∙ m/s

Qy = m∙ Vy  =  0,05 ∙ 2,5 = 0,13 Kg ∙ m/s

Il modulo della quantità di moto finale si può calcolare a partire dalle due componenti x ed y applicando il teorema di Pitagora:

Quantità di moto finale

Dunque la variazione in modulo della quantità di moto è nulla. Vediamo vettorialmente cosa succede invece.

Se vogliamo determinare la differenza vettoriale tra il vettore quantità di moto finale e quella iniziale poniamo i due vettori quantità di moto con la stessa origine nel punto di intersezione degli assi:

Differenza vettoriale quantità di moto

Ora eseguiamo la differenza vettoriale Qf – Qi:

Differenza vettoriale Qf – Qi

Considerando che l’angolo sotteso tra i vettori che rappresentano le due quantità di moto   e l’asse x è di 30° allora la loro differenza sarà data dalla base del triangolo che ha per lati le due quantità di moto.

Essendo l’angolo al vertice di 60° e due lati uguali si deduce che il triangolo deve necessariamente essere equilatero e quindi la differenza tra le due quantità di moto varrà:

|Qf – Qi| =  0,26 Kg ∙ m/s

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