Applicazione della legge di Stevino
Esercizio con applicazione della legge di Stevino
Un fluido di densità ρ è posto in un contenitore cilindrico di altezza h ed è messo in movimento verso l'alto con un'accelerazione costante a.
Ricavare l'espressione che lega la pressione esercitata dal liquido in funzione della profondità h.
Svolgimento
Il caso proposto dal problema è quello di un liquido posto in un contenitore che esercita una pressione sul fondo.
Sappiamo che nel caso statico vale la legge di Stevino, ovvero che la pressione idrostatica esercitata dal fluido è pari al prodotto della densità del fluido per l'accelerazione di gravità per la profondità:
P = ρ · g · h
In questo caso però sul fluido agisce un'accelerazione a rivolta verso l'alto per cui si ha una forza di inerzia premente sul liquido pari a:
F = m · a
in cui m è la massa del fluido.
Detta S la superficie del liquido, la pressione relativa alla forza F vale (formula della pressione):
PF = F / S = (m · a) / S
Per cui la pressione totale agente sul liquido è pari a:
Ptot = P + PF = ρ · g · h + (m · a) / S
Esprimiamo adesso la massa m in funzione della densità e del volume. Da:
ρ = m/V
ricavo m:
m = ρ· V
e sostituiamo nella precedente relazione:
Ptot = ρ · g · h + (m · a) / S = ρ · g · h + (ρ · V · a) / S
Il volume V del contenitore è pari al prodotto dell'area di base S per l'altezza h:
V = S · h
per cui
Ptot = ρ · g · h + (ρ · V · a) / S = ρ · g · h + (ρ · S · h · a) / S
Possiamo semplificare il termine S:
Ptot = ρ · g · h + (ρ · S · h · a) / S = ρ · g · h + ρ · h ·a
e raccogliendo infine ρ·h avremo
Ptot = ρ · h · (g + a)
Per cui la pressione che agisce ad una data profondità h in un fluido in movimento con accelerazione a verso l'alto è:
Ptot = ρ · h · (g + a)
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