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Esercizio su vettori piani

Esercizio svolto su vettori piani

Siano a e b due vettori piani, dimostrare che:

a) |a - b| ≥ |a| - |b|

b) |a + b| ≤ |a| + |b|

Svolgimento

I due vettori dati sono vettori piani, ovvero dotati di due componenti ciascuno x ed y:

a = = (ax ; ay)

b = (bx ; by)

Partiamo dalla prima relazione da dimostrare:

|a - b| ≥ |a| - |b|

La relazione dice che il modulo della differenza dei due vettori è certamente maggiore o uguale alla differenza dei moduli dei due vettori presi singolarmente.

Proviamo a riscrivere a partire dalle componenti:

a - b = (ax - bx ; ay - by)

Per cui il modulo è

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Scriviamo ora l'espressione per calcolare il modulo di ogni singolo vettore:

48

e

49

Quindi:

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Ritornando alla disuguaglianza da verificare, poichè i moduli sono tutti termini positivi, possiamo elevare al quadrato ambo i membri:

|a - b|2 ≥ (|a| - |b|)2

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da cui svolgendo i calcoli:

52

Cambiando di segno moltiplicando per -1 e ricordando di cambiare il verso della disuguaglianza a causa el prodotto per -1, otteniamo:

53

Eleviamo al quadrato ambo i membri:

54

Ma l'espressione (ax · bx + ay · by) altro non è che il prodotto scalare a partire dalle componenti di a e b:

(ax · bx + ay · by) = a x b

Per cui:

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(ax2 + ay2) e (bx2 + by2) sono i moduli al quadrato dei rispettivi vettori:

(a x b)2 ≤ |a|2 · |b|2

Ricordando che dati due vettori a e b e detto θ l'angolo tra di essi, il prodotto scalare tra essi risulta pari a:

a x b = |a| · |b| · cosθ

Allora:

|a|2 · |b|2· cos2 θ ≤ |a|2 · |b|2

che risulta sempre verificata in quanto

cos2 θ ≤1

Dimostriamo adesso che

|a + b| ≤ |a| + |b|

Analogamente al caso precedente:

56

Scriviamo ora l'espressione per calcolare il modulo di ogni singolo vettore:

48

e

49

Quindi

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Ritornando alla disuguaglianza da verificare, poichè i moduli sono tutti termini positivi, possiamo elevare al quadrato ambo i membri:

|a + b|2 ≤ (|a| + |b|)2

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da cui svolgendo i calcoli:

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che si riconduce al caso precedente già verificato.

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