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Esercizio su urto obliquo anelastico

Esercizio svolto su urto obliquo anelastico

Una sfera di massa m lanciata a velocità v ne urta una seconda inizialmente ferma e della stessa massa.

L’urto tra le due è obliquo e le due sfere procederanno dopo l’urto la prima in una direzione che forma un angolo di 45° con la direzione della velocità iniziale, mentre la seconda sotto alla direzione della prima formante un angolo di 30 ° con la direzione iniziale.

Calcolare le velocità delle due sfere dopo l’urto e la perdita di energia cinetica in valore numerico e percentuale.

Svolgimento dell'esercizio

La situazione descritta dal testo dell'esercizio può essere rappresentata nel seguente modo:

urto oliquo anelastico

Si tratta di un urto obliquo anelastico con perdita di energia. Procediamo dunque ad imporre che la quantità di moto iniziale sia pari a quella finale tramite l’equazione vettoriale:

Qi = Qf

Scomponiamo il vettore quantità di moto e dunque anche il vettore velocità lungo le due direzioni x e y, scelto un comune sistema di assi cartesiani.

All’inizio la massa m possiede solo una componente orizzontale della velocità, in quanto il vettore velocità v risiede proprio sull’asse x. Per cui la quantità di moto su y è nulla.

Allora scriveremo che:

Qix = m∙v

Qiy = 0

Dopo l’urto invece le due velocità hanno direzioni tali per cui possiedono entrambe una componente x ed una componente y.

In particolare lungo la direzione orizzontale le due componenti saranno orientate verso il lato positivo dell’asse mentre sull’asse y la componente della prima sarà rivolta verso l’alto (positivo) e quella della seconda verso il basso (negativa).

Qfx = m∙V1∙cos45 +m∙V2∙cos30 = √2/2∙ m∙V1 + √3/2∙ m∙V2

Qfy = m∙V1∙sen45 -m∙V2∙sen30 = √2/2∙ m∙V1 - ½∙m∙V2

In cui V1 e V2 sono i moduli delle velocità finali da ricavare.

Imponiamo la conservazione della quantità di moto sia su x sia su y:

Qix = Qfx

m∙v= √2/2∙m∙V1 + √3/2∙m∙V2

Qiy = Qfy

0 = √2/2∙ m∙V1 - ½∙m∙V2

Poniamo a sistema le due precedenti:

Semplifichiamo m visto che compare in tutti i termini, si ha che:

Sottraiamo membro a membro le due precedenti:

v – 0 = √2/2∙V1 + √3/2∙ V2 –(√2/2∙ V1 - ½∙V2)

v = √2/2∙ V1 + √3/2∙ V2 - √2/2∙ V1 + ½∙V2

v = √3/2∙ V2 + ½∙ V2

502

Da cui:

503

Ricaviamo ora V1 dalla seconda equazione:

0 = √2/2∙V1 - ½∙V2

Moltiplichiamo per 2
0 = √2 ∙V1 - V2

V1 = V2/√2

504

Quindi le due velocità valgono:

Per il calcolo della perdita di energia procediamo col quantificare l’energica cinetica sia nello stato iniziale sia in quello finale.
Ki = ½ ∙ m ∙ v2
Kf = ½ ∙ m ∙ V12 + ½ ∙ m ∙ V22

Kf = ½ ∙ m ∙ [ (6+2-2∙√12)/4 ∙v2 + (3 +1 -2∙√3)∙v2]

Kf = ½ ∙ m ∙ v2 ∙[ (8-2∙√12)/4+4-2∙√3]

Kf = ½ ∙ m ∙ v2 ∙ [ (8-4∙√3)/4 + 4 - 2∙√3]

Kf = ½ ∙ m ∙ v2 ∙[4∙(2-√3)/4 +4  - 2∙√3]

Kf = ½ ∙ m ∙ v2 ∙[2-√3+4  - 2∙√3]

Kf = ½ ∙ m ∙ v2 ∙[6 - 3∙√3]

Kf = 3/2 ∙ m ∙ v2 ∙[2 - √3]

La perdita di energia vale

Epersa = Kf - Ki = 3/2 ∙ m ∙ v2 ∙[2 - √3] - ½ ∙ m ∙ v2

Epersa = m ∙ v2 ∙ [3/2 ∙(2 - √3) - ½ ]

Epersa =  (5-3∙√3)/2∙ m ∙ v2

In percentuale

Epersa/Ki = [(5-3∙√3)/2∙ m ∙ v2] / [ ½ ∙ m ∙ v2] = 5-3∙√3 = - 0,196 ovvero 19,6% (percentuale energia persa).

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