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Esercizio sull'equazione di Bernoulli

Esercizio svolto sull'equazione di Bernoulli

In un tubo orizzontale scorre dell'acqua ad una velocità di 4 m/s ed alla pressione di 105 Pa.

Ad un certo punto il tubo si restringe di sezione e la pressione dell'acqua scende a 0,2 ·105 Pa.

Determinare qual è la velocità dell'acqua nella strozzatura e determinare il rapporto tra le due sezioni del tubo.

Svolgimento

Il problema presenta un tipico caso di applicazione del teorema di Bernoulli.

È posto un tubo orizzontale, quindi un tubo che mantiene la propria quota rispetto ad un livello di riferimento, con all'interno acqua che scorre alla velocità V1 in corrispondenza della sezione di area A1 e con la pressione P1; in corrispondenza di una strozzatura in cui la sezione del tubo si restringe ad A2, l'acqua assumerà la velocità V2 alla pressione P2:

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I dati forniti sono:

V1 = 4 m/s

P1 = 105 Pa

P2 = 0,2 ·105 Pa

ρ = 1000 kg/m3 (densità dell'acqua)

Ricordiamo il teorema di Bernoulli che afferma che dato un condotto in cui scorre un fluido di densità ρ presi due punti del condotto in cui il fluido scorre con velocità V1 e V2, con pressione P1 e P2 e dette h1 e h2 le quote dei due punti rispetto ad un riferimento orizzontale, vale la seguente equazione:

P1 + ρ · g · h1 + ½ · ρ · V12 = P2 + ρ · g · h2 + ½ · ρ · V22

Dividendo entrambi i membri per ρ · g otteniamo:

408

Per cui:

418

Essendo il tubo orizzontale:

h1 = h2

Dunque possiamo semplificare entrambe le quote h in tutti e due i membri ed otteniamo:

419

Possiamo semplificare g:

420

Il nostro obiettivo è determinare V2, per cui:

421

Poiché siamo nell'ipotesi di fluido ideale, ovvero incomprimibile, vale l'equazione di continuità:

Q = S · v = costante

in cui

  • Q è la portata del fluido;
  • S è la superficie del condotto attraversata dal fluido;
  • v la velocità.

Per cui possiamo scrivere per i due punti in considerazione:

A1 · V1 = A2 · V2

da cui il rapporto tra le due sezioni vale:

A1 / A2 = V2 / V1 = 13,3 /4 = 3,32

In definitiva la velocità lungo la strozzatura vale 13,3 m/s e il rapporto tra le sezioni 3,32.

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