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Calcolo dell'errore relativo

Esercizio che richiede il calcolo dell'errore relativo

Le misure dei lati di un tavolo di legno sono:

a = (75,0 ± 0,1) cm

e

b = (50,0 ± 0,1 ) cm.

Calcolare:

a) il perimetro P e l'area A del tavolo

b) l'errore assoluto e relativo del perimetro

c) l'errore relativo e assoluto dell'area

Svolgimento

Il problema fornisce le due misure dei lati di un tavolo a forma di rettangolo.

Sono noti i valori medi e i relativi errori assoluti:

a = 75,0 cm

b = 50,0 cm

Ea,a = 0,1 cm

Ea,b = 0,1 cm

Il perimetro risulta pari a:

P = 2 · (a + b) = 2 · ( 75,0 + 50,0) = 250,0 cm

Mentre l'area:

A = a · b = 75,0 cm · 50,0 cm = 3750,0 cm2

Poiché il perimetro è una misura indiretta, derivata cioè dalla somma delle due grandezze a e b prese a due a due, l'errore assoluto di tale somma di più misure è uguale alla somma degli errori assoluti delle 4 singole misure.

Per cui l'errore assoluto sul perimetro vale:

Ea,perimetro = 2 · (Ea,a + Ea,b) = 2 · (0,1 + 0,1 ) cm = 0,4 cm

L'errore relativo sul perimetro vale:

Er,perimetro = Ea,perimetro / P = 0,4/250,0 = 0,0016

Invece, visto che l'area è una misura derivata dal prodotto delle due grandezze, l'errore relativo di un prodotto è uguale alla somma degli errori relativi dei singoli fattori.

Calcoliamo dunque gli errori relativi di base e altezza:

Er,a = Ea,a / a = 0,1/75,0 = 0,0013

Er,b = Ea,b / b = 0,1/50,0 = 0,002

Er,area = Er,a + Er,b = 0,0013 + 0,002 = 0,0033

Dall'errore relativo sull'area ricaviamone l'errore assoluto:

Ea,area = Er,area · A = 0,0033 · 3750,0 = 12,4 cm2

In definitiva, perimetro ed area espressi con i rispettivi errori assoluti valgono:

P = (250,0 ± 0,4) cm

A = (3750,0 ± 12,4) cm2

I rispettivi errori relativi valgono 0,0016 per il perimetro e 0,0033 per l'area.

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