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Equilibrio su un piano inclinato

Equilibrio di un corpo posto su un piano inclinato

Un corpo di massa m = 30kg è in equilibrio su di un piano inclinato liscio che forma un angolo di 30° con il suolo.

Il blocco è tenuto fermo tramite una fune inestensibile e priva di massa alla parete.

Calcolare la tensione della fune e il modulo della normale che agisce sul blocco.

Calcolare l’accelerazione con cui il corpo scende se la corda viene tagliata.

Svolgimento dell'esercizio

Sul corpo agiscono la forza peso P, la tensione T della corda e la forza di reazione normale al piano N.

In particolare scelto come sistema di riferimento una coppia di assi cartesiani con l’asse x parallelo al piano, avremo che sull’asse della x sono presenti da un lato il vettore T e dall’altro lato la componente orizzontale della forza peso P.

Essendo il sistema fermo, allora la somma vettoriale di tutte le forze è nulla:

P + T + N = 0

N.B.: in gassetto vengono indicate le grandezze vettoriali.

equilibrio di un corpo su un piano inclinato

Tale equazione vettoriale proiettata sull’asse x si traduce:

Px – T = 0

m ∙ g ∙ senα – T = 0

T = m ∙ g ∙ senα = 30 ∙ 9,8 ∙ sen30 = 147 N

Sull’asse delle y avremo invece:

N – Py = 0

N - m ∙ g ∙ cosα = 0

N = m ∙ g ∙ cosα = 30 ∙ 9,8 ∙ cos30 = 254,6 N

Se la tensione della fune viene meno, perché viene tagliata, allora l’unica forza che agisce sull’asse x è la componente orizzontale di P per cui la seconda equazione della dinamica, proiettata lungo x diventa:

Px = m ∙ a

Da cui:

a = g ∙ senα = 9,8 ∙ sen30 = 4,9 m/s2

Tagliata la fune il corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione pari a 4,9 m/s2.

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