Esercizio sul coefficiente di variazione della resistività

Esercizio svolto e commentato sul coefficiente di variazione della resistività

Sapendo che il coefficiente di variazione della resistività del rame vale 3,9∙10^-3 K^-1, a quale temperatura la resistenza di un conduttore di rame raddoppia il valore della propria resistenza che ha a 0°C?

Svolgimento dell'esercizio

Sappiamo che il coefficiente di resistività ρ che compare nella seconda legge di Ohm ha una forte dipendenza dalla temperatura a cui si trova la resistenza secondo la relazione:

ρ(T) = ρ₀ ∙ [1 + α ∙ (T - T₀)]

in cui:

ρ(T) è la resistività a temperatura T;
ρ₀ è la resistività alla temperatura T₀.

Sappiamo inoltre dai dati che:

α = 3,9 ∙ 10^-3 K^-1

Imponiamo dunque che la resistenza a 0°C (273 K) sia la metà della resistenza a T Kelvin:

R₂₇₃ = ½ ∙ R_T

Per la seconda legge di Ohm posiamo affermare che la resistenza R è pari a:

R = ρ ∙ L / S

Per cui:

ρ₂₇₃ ∙ L / S = ½ ∙ ρ_(T) ∙ L / S

Semplificando in ambo i membri sia L che S, si ha che:

ρ₂₇₃ = ½ ∙ ρ_(T)

Da cui:

ρ₂₇₃ = ½ ∙ ρ_(T) = ½ ∙ ρ₂₇₃ ∙ [1 + α ∙ (T - 273)]

Consideriamo quindi l'equazione:

ρ₂₇₃ = ½ ∙ ρ₂₇₃ ∙ [1 + α ∙ (T - 273)]

Semplifichiamo il coefficiente di resistività a 273 K (ρ₂₇₃):

1 = ½ ∙ [1 + α ∙ (T - 273)]

Da cui:

2 = 1 + α ∙ (T - 273)

α ∙ (T - 273) = 2 - 1

α ∙ (T - 273) = 1

T - 273 = 1/α

T = (1/α) + 273 = [1/(3,9∙10^-3)] + 273 = 529 K

La temperatura di 529 K corrisponde a una temperatura di 256°C ed è importante notare che tale temperatura non dipende né dalla forma né dalle dimensioni di un conduttore bensì solo sulla natura del conduttore stesso (coefficiente α).

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