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Principio dei vasi comunicanti applicato a tre liquidi diversi

Esercizio svolto sul principio dei vasi comunicanti applicato a tre liquidi diversi

In un tubo a U a sezione costante viene inserito del mercurio (densità 13,6 g/cm3).

Successivamente viene posta una colonna di acetone (densità 0,79 g/cm3) alta 25 cm.

Determinare quale altezza di glicerina (densità 1,26 g/cm3) andrà inserita nel tubo opposto affinchè i due liquidi (glicerina e acetone) raggiungano la stessa altezza.

Svolgimento dell'esercizio

La condizione imposta dall'esercizio può essere rappresentata come nella figura qui di seguito:

Principio dei vasi comunicanti applicato a tre liquidi diversi

I tre liquidi non sono miscibili tra loro pertanto all’equilibrio dobbiamo imporre che le pressioni esercitate dalle colonne di ogni liquido si equivalgano.

La colonna di glicerina (colore giallo nella figura) avrà un’altezza h1, nostra incognita.

La colonna di acetone, dall’altro lato di colore azzurro, invece avrà un’altezza h2 pari a 25 cm.

La pressione esercitata dalla glicerina dovrà equilibrare sia la colonna di acetone sia la colonna di mercurio (colore rosso) di altezza h2.

Per cui ricordando il calcolo della pressione secondo la legge di Stevino:

ρglicerina ∙ g ∙ h1 + Patm = ρacetone ∙ g ∙ h2 + ρmercurio ∙ g ∙ h3 + Patm

La pressione atmosferica compare in ambo i membri così come il fattore g (accelerazione di gravità); per cui possono essere entrambi semplificati:

ρglicerina ∙  h1  = ρacetone ∙ h2 + ρmercurio ∙ h3

Trasformiamo anzitutto i dati in unità di misura coerenti con il Sistema Internazionale:

  • ρglicerina = 1260 Kg/m3
  • ρacetone = 790 Kg/m3
  • ρmercurio = 13600 Kg/m3

Inoltre:

h2 = 0,25 m

Mentre possiamo esprimere l’altezza del mercurio come l’altezza della prima colonna di glicerina meno l’altezza dell’acetone:

h3 = h1 – h2

Allora otteniamo:

ρglicerina ∙ h1  = ρacetone ∙ h2 + ρmercurio ∙ (h1 - h2)

Ovvero:

ρglicerina ∙ h1 - ρmercurio ∙ h1 = ρacetone ∙ h2 – ρmercurio ∙ h2

Da cui:

Per cui l’altezza della colonna di glicerina che bisogna inserire è pari a 25,9 cm.

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