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Pompe con portate diverse

Esercizio su due pompe con portate diverse

Per riempire una piscina si utilizzano due diverse pompe che hanno una diversa portata.

La seconda pompa impiegherebbe 2 ore di tempo in più rispetto alla prima se dovesse riempire da sola la piscina.

Mentre se usate contemporaneamente le due pompe impiegano un tempo totale di 1 ora e 20 minuti.

Quanto tempo impiegherebbero le due pompe se dovessero separatamente riempire la piscina?

Svolgimento dell'esercizio

Chiamiamo Q₁ e Q₂ le portate delle due pompe.

Sappiamo che la portata Q è definita come rapporto tra volume e tempo:

Q = volume / tempo

Pertanto il volume totale di acqua che passa dalla prima pompa può essere espresso come prodotto della sua portata costante per il tempo totale di riempimento della vasca.

Chiamato t il tempo che impiega la pompa avremo:

V = Q₁ ∙ t

Analogamente la seconda pompa impiega un tempo pari a (t + 2) h per riempire la vasca di un volume V:

V = Q₂ ∙ (t + 2)

Uguagliando le due espressione otteniamo la condizione:

Q₁ ∙ t = Q₂ ∙ (t +2)

Quando le due pompe lavorano contemporaneamente allora si somma la portata delle due come è intuitivo pensare per cui lo stesso volume sarà pari al prodotto della somma delle portate per 1h e 20 m:

t = 1 h e 20 m = 1 + (20/60) = 80/60 = 4/3 h

V = (Q₁ + Q₂) ∙ 4/3

Ricaviamo Q₁ dalla precedente:

Q₁ = (¾) ∙ V - Q₂

Sostituiamo in:

Q₁ ∙ t = Q₂ ∙ (t +2)

ed otteniamo:

[(¾) ∙ V - Q₂] ∙ t = Q₂ ∙ (t +2)

Ma:

V = Q₂ ∙ (t +2)

Dunque:

Pompe con portate diverse