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Pompe con portate diverse

Esercizio su due pompe con portate diverse

Per riempire una piscina si utilizzano due diverse pompe che hanno una diversa portata.

La seconda pompa impiegherebbe 2 ore di tempo in più rispetto alla prima se dovesse riempire da sola la piscina.

Mentre se usate contemporaneamente le due pompe impiegano un tempo totale di 1 ora e 20 minuti.

Quanto tempo impiegherebbero le due pompe se dovessero separatamente riempire la piscina?

Svolgimento dell'esercizio

Chiamiamo Q1 e Q2 le portate delle due pompe.

Sappiamo che la portata Q è definita come rapporto tra volume e tempo:

Q = volume / tempo

Pertanto il volume totale di acqua che passa dalla prima pompa può essere espresso come prodotto della sua portata costante per il tempo totale di riempimento della vasca.

Chiamato t il tempo che impiega la pompa avremo:

V = Q1 ∙ t

Analogamente la seconda pompa impiega un tempo pari a (t + 2) h per riempire la vasca di un volume V:

V = Q2 ∙ (t + 2)

Uguagliando le due espressione otteniamo la condizione:

Q1 ∙ t = Q2 ∙ (t +2)

Quando le due pompe lavorano contemporaneamente allora si somma la portata delle due come è intuitivo pensare per cui lo stesso volume sarà pari al prodotto della somma delle portate per 1h e 20 m:

t = 1 h e 20 m = 1 + (20/60) = 80/60 = 4/3 h

V = (Q1 + Q2) ∙ 4/3

Ricaviamo Q1 dalla precedente:

Q1 = (3/4) ∙ V - Q2

Sostituiamo in:

Q1 ∙ t = Q2 ∙ (t +2)

ed otteniamo:

[(3/4) ∙ V - Q2] ∙ t = Q2 ∙ (t +2)

Ma:

V = Q2 ∙ (t +2)

Dunque:

Pompe con portate diverse

Possiamo raccogliere e semplificare il termine Q2 in quanto compare in ambo i membri:

Esercizio su pompe con portate diverse

Moltiplicando per 4 tutti i termini e sommando si ha che:

3 t2 - 2t - 8 = 0

Le due soluzioni saranno:

t1 = -4/3

e

t2 =2

Scartando la soluzione negativa priva di significato fisico, la risposta dunque è 2 h.

Ovvero la prima pompa impiegherà un tempo pari a 2 h mentre la seconda un tempo superiore di 2 h ovvero 2 +2 = 4 h.

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