Esercizio sulle trasformazioni di galileo

Esercizio svolto sulle trasformazioni di galileo

Una sfera posta sopra un'asta, si sta muovendo verso destra alla velocità costante di 3 m/s, mentre l'asta sta traslando, sempre a velocità costante ma di modulo 4 m/s, in una direzione che forma un angolo di 30° con la verticale.

Determinare l'equazione della traiettoria descritta dalla sfera derivante dalla composizione dei due moti rispetto ad un sistema di assi cartesiano O_xy con centro nella sfera.

Applicare poi le trasformazioni di Galileo per descrivere l'equazione della traiettoria in un sistema O_x'y' che si muove alla stessa velocità e nella stessa direzione dell'asta, coincidente con O_xy all'istante iniziale.

esercizio sulle trasformazioni di galileo

Svolgimento dell'esercizio

Per determinare la traiettoria della sfera dobbiamo procedere alla somma vettoriale delle due velocità che dà luogo ad una componente x e y della velocità risultante, e scriverne le relative equazioni orarie lungo i due assi.

Procediamo dunque alla somma vettoriale di:

V_risultante = V_a + V_s

Essendo in un piano bidimensionale, la precedente equazione vettoriale si traduce in due equazioni scalari, una lungo la direzione dell'asse x ed una lungo la direzione dell'asse y.

Per cui:

V_r,x = V_s – V_a,x

V_r,y = V_a,y

La componente x di V_a è negativa, in quanto il vettore proiettato sull'asse x è rivolto verso sinistra.

La componente y di V_s è invece nulla in quanto il vettore giace sull'asse x.

Calcoliamo le componenti dei due vettori:

V_a,x = V_a ∙ sen30 = 4 ∙ ½ = 2 m/s

V_a,y = V_a ∙ cos30 = 4 ∙ √3/2 = 2 ∙ √3 m/s

Dunque:

V_r,x = V_s – V_a,x = (3 – 2) m/s = 1 m/s

V_r,y = V_a,y = 2 ∙ √3 m/s

Le due componenti della velocità risultante danno vita a due moti rettilinei uniformi lungo i due assi di equazione oraria (vedi: moto rettilineo uniforme):

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Sostituendo la prima nella seconda otteniamo:

Y = 2 ∙ √3 ∙ X

che rappresenta l'equazione della traiettoria della sfera nel sistema di riferimento O_xy.

Poniamoci adesso nel sistema di riferimento O_x'y', che si muove a velocità costante rispetto al primo e dunque rappresenta un sistema di riferimento inerziale.

La velocità V di tale sistema di riferimento coincide sia in modulo sia nella direzione con quella dell'asta e dunque:

V = V_a

Per le trasformazioni di Galileo le nuove coordinate saranno:

x' = x - V∙t

y' = y - V∙t

in cui il tempo t' risulta uguale ed invariante rispetto al tempo t misurato nel primo sistema di riferimento.

Allora:

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