chimica-online.it

Esercizio sul moto circolare uniformemente accelerato

Esercizio svolto e commentato sul moto circolare uniformemente accelerato

Un punto materiale si sta muovendo di moto circolare uniformemente accelerato lungo una circonferenza di raggio 2 m.

La sua velocità tangenziale viene misurata all’istante t e vale 1 m/s.

All’istante t + 3s il corpo ha percorso 5 m.

Determinare:

1) l’accelerazione angolare

2) la velocità angolare dopo 5 s

3) l’accelerazione centripeta dopo 2 s

4) l’accelerazione tangenziale

5) il numero di giri fatti dopo 10 s

Svolgimento dell'esercizio

Il corpo ha percorso un arco di circonferenza lungo 5 m.

Tale arco corrisponde ad un angolo al centro pari a:

θ = L/r

con L lunghezza dell’arco e r raggio della circonferenza (θ sarà espresso in radianti)

θ = L/r = 5/2 = 2,5 rad

Esercizio sul moto circolare uniformemente accelerato

Per applicare la formula:

θ = ½ · α · t2 + ω0 · t + θ0

dobbiamo calcolare la velocità angolare iniziale ω0.

Conosciamo solo la velocità tangenziale iniziale:

V0 = + 1 m/s

Ricordando la relazione che lega V a ω:

V = ω · r

otteniamo

ω = V/r = ½ = 0,5 rad/s

L’accelerazione angolare α allora varrà:

α = 2·[(θ - θ0) - ω0 · t] / t

considerando che

θ - θ0 rappresenta l’angolo spazzato

t è l’intervallo di tempo preso in esame ovvero t + 3 – t = 3 s

allora

α = 2 · [(θ - θ0) - ω0 · t] /t2 = 2 · (2,5 – 0,5 · 3) / 32 = 0,22 rad/s2 (accelerazione angolare)

L’accelerazione angolare è costante.

La legge che lega velocità angolare ed accelerazione angolare è:

ω = ω0 + α · t

per cui all’istante t = 5 s la velocità angolare vale:

ω(5) = 0,5 + 0,22 · 5 = 1,61 rad/s (velocità angolare dopo 5 s)

L’accelerazione centripeta dopo 2 s è data da:

ac = V2/r

in cui V è la velocità tangenziale dopo 2 s.

Calcoliamo dapprima la velocità angolare dopo 2 s e da questa ricaviamo poi la velocità tangenziale che ci occorre per determinare l’accelerazione centripeta.

ω(2) = 0,5 + 0,22 · 2 = 0,94 rad/s

V(2) = ω(2) · r = 0,94 · 2 = 1,89 m/s

Per cui l’accelerazione centripeta dopo 2 s vale:

ac = [V(2)]2 /r = 1,892 / 2 = 1,78 m/s2 (accelerazione centripeta dopo 2 s)

Per il calcolo dell’accelerazione tangenziale invece sfruttiamo la legge oraria relativa al moto rettilineo uniformemente accelerato per cui:

ΔS =1/2 · a · t2 + V0 · t

da cui

a = 2· [ΔS - V0 · t] / t2 = 2 · (5 - 1 · 3) / 32 = 0,44 m/s2 (accelerazione tangenziale)

Trattandosi di moto circolare uniformemente accelerato l’accelerazione tangenziale è costante, mentre l’accelerazione centripeta varia nel tempo seguendo la variazione della velocità tangenziale.

Dopo 10 s il punto avrà spazzato un angolo (in radianti) pari a:

θ(10) =1/2 · 0,22 · 102 + 0,5 · 10 + 0 = 16,11 rad

Ora se consideriamo che 2·π rad rappresentano 1 angolo giro (360°) allora possiamo impostare la proporzione:

(2·π) : 360 = 16,11 : x

Ovvero:

x = 16,11· 360/ (2·π) = 923,57°

Poiché un giro completo è 360°, il punto avrà compiuto:

n = 923,57/360 = 2,56 giri (numero di giri fatti dopo 10 s)

Studia con noi