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Calcolo del prodotto scalare

Esempio di calcolo del prodotto scalare

Dati i vettori a e b di componenti rispettivamente:

a = (1; -1/2; 1)

b = (0, 0, 1)

si calcolino le componenti del vettore c tale per cui risulti:

a x c = 0

c x b = 0

c x c = 1

Si calcoli inoltre il modulo del vettore c.

Svolgimento

Sono dati i due vettori a e b di cui conosciamo le tre componenti spaziali; ci poniamo quindi in un sistema di riferimento a tre dimensioni.

Le componenti di a e b sono rispettivamente:

ax = 1

ay = -1/2

az = 1

bx = 0

by = 0

bz = 1

Sfruttiamo adesso le tre condizioni proposte dal testo per ricavare tante equazioni quante sono le incognite da trovare.

La richiesta del problema è quella di calcolare il vettore c tale per cui risultino verificate contemporaneamente le seguenti richieste:

a x c = 0

c x b = 0

c x c = 1

Quindi poichè le incognite da trovare sono le componenti del vettore c, che sono tre, lo stesso numero di equazioni è quello richiesto per procedere al calcolo.

Partiamo dalla prima condizione:

a x c = 0

Il prodotto scalare tra a e c deve essere nullo.

Ricordiamo che il prodotto scalare di due vettori a partire dalle loro componenti vale:

a x c = ax · cx + ay · cy+ az · cz = 0

Sostituendo otteniamo:

1· cx + (-1/2) · cy + 1·cz = 0

cx -1/2 · cy + cz = 0

La seconda condizione invece è:

c x b = 0

c x b = cx · bx + cy · by + cz · bz= cx · 0 + cy · 0+ cz · 1 = 0

cz = 0

Infine la terza ed ultima condizione:

c x c = 1

c x c = = cx · cx + cy · cy + cz · cz = 1

cx2 + cy2 + cz2 = 1

Ricapitolando le tre equazioni ricavate sono:

cx - 1/2 · cy + cz = 0

cz = 0

cx2 + cy2 + cz2 = 1

che rappresenta un sistema di tre equazioni in tre incognite.

Dalla seconda equazione abbiamo che

cz = 0

per cui sostituiamo nella prima:

cx - 1/2 · cy + cz = 0

cx - 1/2 · cy + 0 = 0

cx - 1/2 · cy = 0

cx = 1/2 · cy

Ora sostituiamo tutto nell'ultima equazione:

cx2 + cy2 + cz2 = 1

(1/2 · cy)2 + cy2 + 02 = 1

1/4 · cy2 + cy2 + 02 = 1

1/4 · cy2 + cy2 = 1

5/4 · cy2 = 1

cy2 = 4/5

Da cui:

40

Poichè risultava:

cx = 1/2 · cy

allora avremo:

41

In definitiva allora avremo due vettori c che soddisfano le condizioni iniziali:

42

e

43

Il modulo dei due vettori appena ricavati coincide e vale:

44

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