Esercizio sull'effetto Joule

Esercizio svolto sull'effetto Joule

Due boiler utilizzati per il riscaldamento dell'acqua sono schematizzabili come due resistenze di 20 Ω e 40 Ω connesse alla tensione di rete nazionale di 220V.

Se essi vengono utilizzati per scaldare 50 litri di acqua alla temperatura iniziale di 25°C per 1 ora, quale sarà la temperatura dell'acqua in entrambi i casi?

Se ogni kWh di energia ha un costo di 0,10 euro, quale sarà il costo totale legato al funzionamento dei due elettrodomestici?

Svolgimento

I due boiler sfruttano la proprietà per la quale quando un conduttore è attraversato da corrente, questo si riscalda e dissipa energia termica per effetto Joule.

L'energia dissipata, che in questo caso è convertita in calore e serve ad aumentare la temperatura dell'acqua, vale:

E = P · Δt

in cui Δt è l'intervallo di tempo considerato mentre P è la potenza elettrica.

I dati a nostra disposizione sono:

R₁ = 20 Ω

R₂ = 40 Ω

V = 220 V

Δt = 1 ora = 60 · 60 s = 3600 s

Conoscendo solo la tensione V e la resistenza R, possiamo esprimere la potenza P come:

P = V² / R

Per cui l'energia/calore fornito all'acqua nei due casi varrà:

Q₁ = (V² · Δt ) / R₁

Q₂ = (V² · Δt ) / R₂

Ricordando la legge che lega quantità di calore Q alla variazione di temperatura ΔT:

Q₁ = m · c · ΔT₁

Q₂ = m · c · ΔT₂

Possiamo uguagliare:

m · c · ΔT₁ = (V² · Δt) / R₁

m · c · ΔT₂ = (V² · Δt ) / R₂

Da cui

ΔT₁ = (V² · Δt ) / (R₁ · m · c)

ΔT₂ = (V² · Δt ) / (R₂ · m · c)

Sostituendo i dati otteniamo pertanto le variazioni di temperature relative alle masse d'acque presenti nei due boiler e quindi la temperatura finale raggiunta:

ΔT₁ = (V² · Δt ) / (R₁ · m · c) = (220² · 3600 ) / (20 · 50 · 4186) = 41,6 °C

ΔT₂ = (V² · Δt ) / (R₂ · m · c) = (220² · 3600 ) / (40 · 50 · 4186) = 20,8 °C

Dunque nel primo boiler l'acqua raggiungerà una temperatura finale di

T_f1 = 25°C + 41,6°C = 66,6 °C

Mentre nel secondo:

T_f2 = 25°C + 20,8°C = 45,8 °C

Per rispondere invece alla seconda domanda, dobbiamo calcolare l'energia consumata dai due elettrodomestici in kWh.

Ora, come abbiamo visto l'energia/calore fornito all'acqua nei due casi varrà:

E₁ = P₁ · Δt = (V² / R₁) · Δt = (220² / 20) W · 1 h = 2420 Wh = 2,420 kWh

E₂ = P₂ · Δt = (V² / R₂) · Δt = (220² / 40) W · 1 h = 1210 Wh = 1,210 kWh

Se il costo al kWh è di € 0,10 allora il costo totale relativo ad ognuno dei due boiler sarà:

C₁ = 0,10 · 2,420 = 0,242 €