Situazione dinamica in un piano inclinato
Esercizio riguardante la situazione dinamica in un piano inclinato
Su di un piano inclinato liscio di 30° vi è la massa m1, con m1 = 12 kg, che scorre verso la base del piano con accelerazione pari a 0,20 m/s2.
Tale massa è collegata tramite una fune inestensibile e di massa trascurabile, attraverso una carrucola, ad una massa m2 sospesa in aria.
Calcolare il valore di m2 e la tensione del filo.
Svolgimento dell'esercizio
Il problema presenta una situazione dinamica in cui vi sono due masse, di cui la prima m1 poggiata su un piano inclinato di α = 30° rispetto all'orizzontale, mentre la seconda m2 è sospesa nel vuoto e collegata alla prima tramite una fune e una carrucola entrambi di massa trascurabile.
Sappiamo inoltre che la massa m1 sta scendendo verso la base del piano inclinato con accelerazione
a = 0,20 m/s2
Rappresentiamo il diagramma di corpo libero per entrambe le masse.
Sulla massa m1 agiscono le seguenti forze:
la forza peso 
diretta verticalmente verso il basso;
- la tensione
della fune rivolta verso la carrucola; - la forza di reazione
perpendicolare al piano; - la risultante
diretta verso la base del piano.
Sulla massa m2 invece:
- la forza peso diretta verticalmente verso il basso;
- la tensione della fune rivolta verso l'alto;
- la risultante diretta verso l'alto, visto che la massa m1 scende e tira all'insù la massa m2.
Possiamo dunque scrivere le equazioni scalari per m1 e m2.
In particolare per semplificare, scriveremo l'equazione lungo l'asse parallelo al piano per m1 e l'equazione lungo l'asse verticale per m2.
Avremo per m1:
Px - T = m1·a
Abbiamo scelto come positivo il verso con cui sta scendendo la massa.
m1·g·sen30 - T = m1·a
Per m2 avremo invece:
T - m2·g = m2·a
In questo caso abbiamo scelto come positivo il verso dell'asse rivolto verso l'alto.
I moduli della tensione T e dell'accelerazione a sono uguali per entrambe le masse in quanto il filo è inestensibile e di massa trascurabile, così come la carrucola, che quindi agiscono come elementi passivi che si limitano a trasmettere le forze senza alterarle.
Scriviamo dunque il sistema delle due equazioni precedentemente ricavate:
{ m1·g·sen30 - T = m1·a
{ T - m2·g= m2·a
Procediamo col metodo di sostituzione per la risoluzione di questo sistema di primo grado.
Ricaviamo T dalla seconda:
T = m2·g + m2·a
Sostituiamo nella prima:
m1·g·sen30 - T = m1·a
m1·g·sen30 - (m2·g + m2·a) = m1·a
m1·g·sen30 - m2·g - m2·a = m1·a
Esplicitiamo m2:
m2·g + m2·a = m1·g·sen30 - m1·a
(g + a) · m2 = m1· (g·sen30 - a)
Ricaviamo infine il modulo della tensione della corda, sostituendo il valore appena ricavato in:
T = m2·g + m2·a = m2·(g+a) = 5,64 · (9,8 +0,2) = 56,4 N
Pertanto la seconda massa vale 5,64 kg mentre la tensione della fune che collega i due corpi vale 56,4 N.
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Quali sono le formule del piano inclinato?
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