Corpi che si muovono di moto circolare uniforme sfasati tra loro
Esercizio su corpi che si muovono di moto circolare uniforme sfasati tra loro
In una pista circolare di go-kart di raggio R = 40 m due partecipanti si esibiscono in una gara di inseguimento.
Essi partono allo stesso istante posizionati ai due estremi del diametro orizzontale della pista, il primo con velocità VA e l'altro con velocità VB = 40 km/h.
Trovare il valore di V1 affinché il primo partecipante raggiunga il secondo dopo che questo ha percorso 2,5 giri di pista e calcolare il tempo necessario.
Svolgimento
Il problema presenta la situazione di due corpi che si muovono di moto circolare uniforme, sfasati di un angolo di 180° (π radianti), in quanto i due corpi partono dai due estremi del diametro orizzontale della pista.
Del corpo A non conosciamo la velocità tangenziale, che è l'incognita del problema, mentre del corpo B conosciamo la velocità di rotazione che vale:
VB = 40 km/h = 40/3,6 m/s = 11,11 m/s
Sappiamo infine dal testo del problema che i due corpi si trovano riallineati dopo che il secondi ha percorso 2,5 giri che tradotto in radianti vuol dire:
α = 2,5·(2·π) = 15,7 rad
I due angoli descritti dai due partecipanti A e B devono essere tali per cui:
αA - αB = π
Infatti essendo i due punti posti ai due estremi del diametro orizzontale della pista, la distanza angolare da compiere partendo da un punto per arrivare all'altro è proprio un mezzo angolo giro (180°) quindi π radianti, inoltre ricordando che
αA = ωA·t
e
αB = ωB·t
I due punti saranno riallineati solo quando
ωA·t - ωB·t =π
raccogliamo t
(ωA - ωB) · t =π
Da cui
t = π / (ωA - ωB)
Ricordando che la velocità angolare ω è esprimibile in funzione della velocità tangenziale secondo la relazione:
ω = V/R
possiamo allora scrivere
t = π / (ωA - ωB) = π / (VA/R - VB/R) = π·R / (VA - VB)
L'angolo percorso da B sarà pari a:
αB = ωB·t = (VB/R ) ·t = (VB/R ) · π·R / (VA - VB) = 15,7 rad
sostituiamo i dati:
π·11,11 / (VA - 11,11) = 15,7
π·11,11 /15,7 = (VA - 11,11)
VA = (π·11,11 /15,7) + 11,11 = 13,33 m/s = 13,33 ·3,6 km/h = 48 km/h
Mentre il tempo trascorso prima di ritrovarsi vale:
t = π·R / (VA - VB) = 3,14·40 / (13,33 -11,11) = 56,58 s
Per cui la velocità che deve tenere il corpo A per raggiungere il corpo B dopo 2,5 giri deve essere pari a 48 km/h mentre il tempo necessario al riallineamento è pari a 56,58 s.
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